人工衛星や惑星の運動を扱う「万有引力・天体」。スケールの大きさに圧倒されがちですが，使う道具は力学の総復習ともいえるラインナップで，解法の型がはっきりした単元です。
このページは，当サイトの万有引力・天体シリーズを学習順に整理したまとめページです。4記事＋要点整理で，万有引力と天体の問題を体系的にマスターできます。
万有引力・天体マスターへの4ステップ
Step1 万有引力の法則をつかむ
まずは万有引力の式と，地表の重力との関係から。すべての土台になるステップです。
万有引力
万有引力 名前の通り，「万物（あらゆる物体）が有する引力」です。 そう，世の中にある全ての物体は互いに引きつけ合っているのです。太陽と水星も，木になるりんごと地面（地球）も，気になるあの人とあなたも， ...
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Step2 万有引力の位置エネルギーを理解する
無限遠を基準とした位置エネルギーを導入します。「なぜ負の値なのか」まで理解するのが目標です。
万有引力の位置エネルギー
目次1 万有引力の位置エネルギー2 万有引力の位置エネルギーの導出3 力学的エネルギー保存則 万有引力の位置エネルギー 万有引力は保存力 質量が $M$ の物体から距離 $r$ だけ離れた位置に質量が ...
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Step3 ケプラーの法則を押さえる
楕円軌道・面積速度一定・調和の法則。天体の問題を解く鍵となる3つの法則を整理します。
ケプラーの法則
目次1 ケプラーの法則とは2 ケプラーの第二法則3 ケプラーの第三法則 ケプラーの法則とは 3つの法則 地球や火星，金星などの惑星は，恒星である太陽のまわりをまわっています。 「そんなの当たり前だ！」 ...
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Step4 惑星運動の問題を攻略する
「エネルギー保存＋面積速度一定」の連立という定石を，実際の問題への使い方まで含めて固めます。
惑星運動の問題へのアプローチ
目次1 惑星運動の問題の解き方2 楕円について 惑星運動の問題の解き方 基本方針 注目する惑星の軌道が円か楕円かで方針が大きく異なります。基本的な問題は以下の方針で解き進めることができます。 なかなか ...
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万有引力・天体の要点まとめ
押さえるべき式
| 量 | 式 | ポイント |
|---|---|---|
| 万有引力 | $F=G\dfrac{Mm}{r^2}$ | $r$ は中心間距離 |
| 位置エネルギー | $U=-G\dfrac{Mm}{r}$ | 無限遠が基準・常に負 |
| ケプラー第2法則 | 面積速度一定 | 楕円軌道の2点を結ぶ |
| ケプラー第3法則 | $\dfrac{T^2}{a^3}=\stext{一定}$ | $a$ は半長軸 |
解法の定石
- 円軌道：万有引力を向心力とする円運動の方程式を立てる
- 楕円軌道：2点間で「力学的エネルギー保存則」と「面積速度一定」を連立する
- 脱出・無限遠：無限遠で運動エネルギーが $0$ 以上になる条件をエネルギー保存で立てる
よくあるつまずきポイント
Q1. 位置エネルギーが負なのはなぜ？
A. 基準（$U=0$）を無限遠に置いているためです。万有引力は引力なので，無限遠より近い場所ほどエネルギーが低く，負の値になります。
Q2. 面積速度一定はいつ使う？
A. 楕円軌道上の2点（近日点と遠日点など）の速さを結びつけたいときが出番です。エネルギー保存則とセットで連立するのが定石です。
Q3. 地表の重力と万有引力の関係は？
A. 地表での万有引力がほぼ重力そのものです。$mg=G\dfrac{Mm}{R^2}$ から $GM=gR^2$ という置き換えが頻出なので，使えるようにしておきましょう。
さらに演習を積みたい人へ
万有引力・天体は，東大をはじめとする難関大入試の頻出テーマです。基本をマスターしたら，過去問ベースの問題集で仕上げの演習を積みましょう。
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