人工衛星や惑星の運動を扱う「万有引力・天体」。スケールの大きさに圧倒されがちですが，使う道具は力学の総復習ともいえるラインナップで，解法の型がはっきりした単元です。
このページは，当サイトの万有引力・天体シリーズを学習順に整理したまとめページです。4記事＋要点整理で，万有引力と天体の問題を体系的にマスターできます。
万有引力・天体マスターへの4ステップ
Step1 万有引力の法則を学ぶ
まずは万有引力の式から。地表の重力との関係も確認します。すべての土台になるステップです。
Step2 万有引力の位置エネルギーを理解する
無限遠を基準とした位置エネルギーを導入します。「なぜ負の値なのか」まで，「自分の言葉で説明できるように理解する」のが目標です。
Step3 ケプラーの法則を押さえる
天体の問題を解く鍵となる3つの法則を整理します。
Step4 惑星運動の問題を攻略する
「エネルギー保存則＋面積速度一定」の連立という定石を，実際の問題への使い方まで含めて整理します。
万有引力・天体の要点まとめ
押さえるべき式
| 量 | 式 | ポイント |
|---|---|---|
| 万有引力 | $F=G\dfrac{Mm}{r^2}$ | $r$ は中心間距離 |
| 位置エネルギー | $U=-G\dfrac{Mm}{r}$ | 無限遠が基準・常に負の値 |
| ケプラー第2法則 | 面積速度一定 | 1つの惑星について立式 |
| ケプラー第3法則 | $\dfrac{T^2}{a^3}=\stext{（一定）}$ | 惑星同士の比較 |
解法の定石
- 円軌道：万有引力を向心力とする円運動の運動方程式を立てる。
- 楕円軌道：2点間で「力学的エネルギー保存則」と「面積速度保存則」を連立する。
よくあるつまずきポイント
位置エネルギーが負なのはなぜ？
基準（$U=0$）を無限遠に置いているためです。万有引力は引力なので，無限遠より近い場所ほどエネルギーが低く，負の値になります。
面積速度一定はいつ使う？
楕円軌道上の2点（近日点と遠日点など）の速さを結びつけたいときが出番です。惑星同士の比較ではなく，1つの惑星に注目している際に立てます。エネルギー保存則とセットで連立するのが定石です。一方で，ケプラーの第3法則は2つの惑星を比較する際に用います。
地表の重力と万有引力の関係は？
地表での万有引力がほぼ重力そのものです。$mg=G\dfrac{Mm}{R^2}$ から $GM=gR^2$ という置き換えが頻出なので，立式過程を含めて理解しておきましょう。
さらに演習を積みたい人へ
万有引力・天体は，東大をはじめとする難関大入試の頻出テーマです。基本をマスターしたら，過去問ベースの問題集で仕上げの演習を積みましょう。
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