万有引力
「万有引力」という言葉，一度は耳にしたことがあるのではないでしょうか？
名前の通り，「万物（あらゆる物体）が有する引力」です。
そう，世の中にある全ての物体は互いに引きつけ合っているのです。太陽と水星も，木になるりんごと地面（地球）も，気になるあの人とあなたも，例外なく世の中の物体は互いに引きつけ合います。
万有引力の大きさ
この万有引力の大きさは，2物体の質量にそれぞれ比例し，2物体の距離の $2$乗に反比例することが知られています。
すなわち，質量がそれぞれ $m,\,M$ の2物体が，$r$ だけ離れて置かれたとき，比例定数を $G$ として万有引力の大きさは，
$$f=G\bun{mM}{r^2}$$で表されます。
向きは互いに引きつけ合う向きです。
比例定数 $G$ は，万有引力定数と呼ばれ，$G=6.67\times10^{-11}\punit{N\cdot m^2/kg^2}$ と非常に小さな値です。
この万有引力定数が非常に小さいため，日常生活で万有引力を意識することはほとんどありません。
「ベッドから受ける万有引力が強すぎて毎朝ベッドから出られない」なんて人はいませんよね？
遅刻の理由として使えば多少は笑いが取れるかもしれませんが，ベッドから出れないのは万有引力以外の原因があるはずです。
よって，万有引力を考えないといけないのは，質量$m,\,M$ が非常に大きい場合に限られるのです。
惑星の運動を考える際に万有引力を中心に考えるのは，そうした理由によります。
万有引力の法則
質量がそれぞれ $m,\,M$ の2物体が距離 $r$ だけ離れて置かれているとき，2物体間には大きさが，
$$f=G\bun{mM}{r^2}$$で表される万有引力が働く。
例題
地表付近の物体Aについて，以下の問いに答えよ。ただし，地球の半径を $R$，質量を $M$ とし，物体Aの大きさは無視できるものとする。
物体Aと地球の間に作用する万有引力が重力と等しいことを利用し，万有引力定数 $G$ と重力加速度の大きさ $g$ の間に成り立つ関係式を求めよ。
物体Aに速度を与え，地表付近で地球のまわりを円運動させる。このとき，物体Aに与えるべき初速度の大きさ $v$ を $G$ を用いて表わせ。
(1)の考え方
地球の中心と物体Aの距離は $R$ と考えることができます。
よって，物体Aが地球から受ける万有引力の大きさは，
$$f=G\Bun{mM}{R^2}$$です。
普段考えている「重力 $mg$」の正体は，実はこの万有引力なのです。
よって，
$$G\Bun{mM}{R^2}=mg\qquad\therefore \quad GM=gR^2$$が得られます。
この話からもわかる通り，重力を $mg$ として考えられるのは「地表付近では物体と地球の中心の距離を $R$ と近似的に考えられるから」です。
物体が地表から離れていき，高さ $h$ の位置になると，万有引力の大きさは $G\Bun{mM}{(R+h)^2}$ になります。よって，重力の正確な大きさ $f$ は，
$$f=G\bun{mM}{(R+h)^2}=\left(\bun{R}{R+h}\right)^2mg\ (<mg)$$であることがわかります。
(2)について
物体Aは，地球からの万有引力を受けて，地表すれすれの位置を円運動します。
このとき，円運動の半径は地球の半径 $R$ に等しいと考えることができますね。
では物体Aが受ける力は何があるでしょう？
重力と万有引力は本来同じものですから，万有引力だけを考えればokです。この万有引力は，常に地球の中心に向かって働きますから，円運動の向心力になります。
ここまでわかればあとは円運動の問題です。
「等速円運動を見たら向心方向の運動方程式」でしたね。立式すると，
$$m\Bun{v^2}{R}=G\bun{mM}{R^2}$$となります。
これを整理することで，
$$v=\sqrt{\bun{GM}{R}}$$が得られます。
この速度を物体に与えれば，地球からの万有引力を受けて延々と円運動を続けることができます。この速さ$v$ は，第一宇宙速度と呼ばれています。