万有引力の位置エネルギー

万有引力の位置エネルギー

万有引力は保存力

質量が $M$ の物体から距離 $r$ だけ離れた位置に質量が $m$ の物体を置いたとき，この物体の持つ位置エネルギーは，

$$U_{\rmG}=-G\mskip 6mu\bun{mM}{r}\mskip 5mu$$で与えられることが知られています。

基準点は無限遠方です。

基準点について

$U_{\rmG}=-\mskip 6mu\bun{mM}{r}\mskip 5mu$ のグラフを考えるとわかりやすいでしょう。

$y=-\mskip 6mu\bun{1}{x}\mskip 5mu$ と同じ形をしていますので，グラフの形は双曲線です。

確かに基準点である無限遠方で位置エネルギーが $0$ になっています。

位置エネルギーの基準点はどこに取ってもよいのですが，万有引力の位置エネルギーを考える際には無限遠方を基準をとるものと考えてokです。

また，グラフからもわかる通り，万有引力の位置エネルギーは必ず負の値になります。

万有引力の位置エネルギーの導出

まずは仕事の計算

重力，弾性力と同じ手順で，万有引力の位置エネルギーを導出してみましょう。

右向きに $x$ 軸をとり，質量 $M$ の物体を原点に固定します。

そこから $r_0$ だけ離れた位置に質量 $m$ の物体を置き，この質量 $m$ の物体を $x=r_0$ から $x=r_1$ までゆっくりと移動させます。

万有引力は向きに注意すると，$f=-G\mskip 6mu\bun{mM}{x^2}\mskip 5mu$ とかけるので，これを積分することで仕事を計算しましょう。

すると，
$$\begin{aligned}W_G&=\int_{r_0}^{r_1}\left(-G\mskip 6mu\bun{mM}{x^2}\mskip 5mu\right)\dx\\&=\Bigl[G\mskip 6mu\bun{mM}{x}\mskip 5mu\Bigr]_{r_0}^{r_1}\\&=GmM\left(\bun{1}{r_1}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{1}{r_0}\mskip 5mu\right)\end{aligned}$$であることがわかります。

このように，最初の位置 $x=r_0$ と最後の位置 $x=r_1$ を決めるだけで仕事が計算できますので，万有引力が保存力であることが確認できます。

位置エネルギーの差の決定

保存力の仕事と位置エネルギーの変化の間には，$\varDelta U=-W_{保}$ の関係式が成り立ちましたね。

上で求めた $W_G$ が，$W_{保}$ になりますので，

$$\varDelta U_{\rmG}=-W_G=-GmM\left(\bun{1}{r_1}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{1}{r_0}\mskip 5mu\right)$$として，万有引力の位置エネルギーの変化を計算することができます。

$x=r_0$ と $x=r_1$ における位置エネルギーの変化を表しているので，

$$\varDelta U_{\rmG}=U_{\rmG}(r_1)-U_{\rmG}(r_0)$$と表記できます。

基準点の決定

$r_0$ をどこに定めるときれいな式になると思いますか？

$G\mskip 6mu\bun{mM}{r_0}\mskip 5mu$ が $0$ になってくれたら嬉しいですよね。そこで，無限遠方（$r_0\to\infty$）を基準にとるわけです。

すると，$U_{\rmG}(r_0)=0$ となりますので，

$$U_{\rmG}(r_1)=-G\mskip 6mu\bun{mM}{r_1}\mskip 5mu$$が得られます。$r_1$ を $r$ で書き換えれば，

$$U_{\rmG}(r)=-G\mskip 6mu\bun{mM}{r}\mskip 5mu$$として万有引力の位置エネルギーが求まります。

力学的エネルギー保存則

立式の形

万有引力の位置エネルギーを含めて，力学的エネルギー保存則を考えてみましょう。

惑星運動のように万有引力を考える状況において，物体の持つ力学的エネルギーは，

$$E=\mskip 4mu\bun12mv^2-G\mskip 6mu\bun{mM}{r}\mskip 5mu$$とかくことができます。

「え，重力の位置エネルギー $mgh$ とか弾性力の位置エネルギー $\Bun12kx^2$ はどこへ行ったの…？」と思った皆さん，素晴らしい着眼点ですね。

先程の例題で確認したように，重力の正体は万有引力です。したがって，万有引力の位置エネルギーを考える際に，重力の位置エネルギーを重複して考えることはありません。

次のような問題であれば，考える必要があります。

惑星運動のようなスケールの大きな話をしているのに，ばねが登場するのって「どんな状況だよ！」ってことなんですね。

ということで，弾性力の位置エネルギーが含まれることはまずありません。

(1)について

打ち上げ地点では，地球の中心からの距離が地球の半径 $R$ に等しいので，力学的エネルギーは，
$$E_0=\mskip 4mu\bun12mv_0\!^2-G\mskip 6mu\bun{mM}{R}\mskip 5mu$$です。

地球の中心からの距離が $r$ の点では，速さが $v$ であることを踏まえると，力学的エネルギーは，
$$E=\mskip 4mu\bun12mv^2-G\mskip 6mu\bun{mM}{r}\mskip 5mu$$と表せるので，力学的エネルギー保存則は，
$$\Bun12mv_0\!^2-G\mskip 6mu\bun{mM}{R}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun12mv^2-G\mskip 6mu\bun{mM}{r}\mskip 5mu$$と立式できます。

(2)について

まずは力学的エネルギー保存則のイメージの確認です。

運動エネルギーと位置エネルギーの和が保存されていて，運動エネルギーが減ればその分位置エネルギーが増えて合計が一定。その逆も然り。というものですね。

今回の状況では，地表からロケットが出発して，地表から離れるにしたがって位置エネルギーが増加していきます。

万有引力の位置エネルギーは必ず負の値ですので，増減がわかりにくい場合はグラフを利用するとよいでしょう。

位置エネルギーが増加すると，その分運動エネルギーが減少します。

運動エネルギーが $0$ になってしまうと，そこで折り返してロケットは地球に戻ってきてしまいます。

そうならないためには，無限遠方にたどり着くまでに運動エネルギーが $0$ にならなければよいですね。つまり「無限遠方に到達しても運動エネルギーが残っている」と考えることができます。

$r\to\infty$ の無限遠方における運動エネルギーは，(1) において $r\to\infty$ とすることで得られます。

$$\bun12mv^2=\mskip 4mu\bun12mv_0\!^2-G\mskip 6mu\bun{mM}{R}\mskip 5mu$$ですね。

これが $0$ 以上であればよいので，

$$\bun12mv_0\!^2-G\mskip 6mu\bun{mM}{R}\mskip 5mu\geqq0\qquad\therefore \quad v\geqq \sqrt{\bun{2GM}{R}\mskip 5mu}$$として答えが得られます。

例題から，ロケットが無限遠方に飛び去るために必要な最小の速度が $V=\sqrt{\bun{2GM}{R}\mskip 5mu}$ であることがわかります。

この速度は第二宇宙速度と呼ばれています。