万有引力の位置エネルギー

1 万有引力の位置エネルギー
2 万有引力の位置エネルギーの導出
3 力学的エネルギー保存則

万有引力は保存力

羽白

万有引力も保存力であり，位置エネルギーを考えることができます。

質量が $M$ の物体から距離 $r$ だけ離れた位置に質量が $m$ の物体を置いたとき，この物体の持つ位置エネルギーは，

$$U_{\rmG}=-G\mskip 6mu\bun{mM}{r}\mskip 5mu$$で与えられることが知られています。

基準点は無限遠方です。

基準点について

無限遠方が基準…？無限遠方で位置エネルギーが $0$ ってどういうこと…？

生徒

$U_{\rmG}=-\mskip 6mu\bun{mM}{r}\mskip 5mu$ のグラフを考えるとわかりやすいでしょう。

$y=-\mskip 6mu\bun{1}{x}\mskip 5mu$ と同じ形をしていますので，グラフの形は双曲線です。

無限遠方（$r\to\infty$）で，$U_{\rmG}\to0$ となることが確認できますね。

生徒

確かに基準点である無限遠方で位置エネルギーが $0$ になっています。

位置エネルギーの基準点はどこに取ってもよいのですが，万有引力の位置エネルギーを考える際には無限遠方を基準をとるものと考えてokです。

また，グラフからもわかる通り，万有引力の位置エネルギーは必ず負の値になります。

万有引力の位置エネルギー

万有引力は保存力であり，位置エネルギーを考えることができる。質量 $M$ の物体から $r$ だけ離れた位置における，質量 $m$ の物体が持つ位置エネルギーは，無限遠方を基準点として，

$$U_{\rmG}=-G\mskip 6mu\bun{mM}{r}\mskip 5mu$$

万有引力の位置エネルギーの導出

まずは仕事の計算

重力，弾性力と同じ手順で，万有引力の位置エネルギーを導出してみましょう。

右向きに $x$ 軸をとり，質量 $M$ の物体を原点に固定します。

そこから $r_0$ だけ離れた位置に質量 $m$ の物体を置き，この質量 $m$ の物体を $x=r_0$ から $x=r_1$ までゆっくりと移動させます。

羽白

この移動の際に，万有引力がする仕事を計算してみましょう。

万有引力は向きに注意すると，$f=-G\mskip 6mu\bun{mM}{x^2}\mskip 5mu$ とかけるので，これを積分することで仕事を計算しましょう。

すると，
$$\begin{aligned}W_G&=\int_{r_0}^{r_1}\left(-G\mskip 6mu\bun{mM}{x^2}\mskip 5mu\right)\dx\\&=\Bigl[G\mskip 6mu\bun{mM}{x}\mskip 5mu\Bigr]_{r_0}^{r_1}\\&=GmM\left(\bun{1}{r_1}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{1}{r_0}\mskip 5mu\right)\end{aligned}$$であることがわかります。

このように，最初の位置 $x=r_0$ と最後の位置 $x=r_1$ を決めるだけで仕事が計算できますので，万有引力が保存力であることが確認できます。

位置エネルギーの差の決定

保存力の仕事と位置エネルギーの変化の間には，$\varDelta U=-W_{保}$ の関係式が成り立ちましたね。

上で求めた $W_G$ が，$W_{保}$ になりますので，

$$\varDelta U_{\rmG}=-W_G=-GmM\left(\bun{1}{r_1}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{1}{r_0}\mskip 5mu\right)$$として，万有引力の位置エネルギーの変化を計算することができます。

$x=r_0$ と $x=r_1$ における位置エネルギーの変化を表しているので，

$$\varDelta U_{\rmG}=U_{\rmG}(r_1)-U_{\rmG}(r_0)$$と表記できます。

基準点の決定

羽白

このままでは変化量しかわからないので，基準を定めましょう。

$r_0$ をどこに定めるときれいな式になると思いますか？

$G\mskip 6mu\bun{mM}{r_0}\mskip 5mu$ が $0$ になってくれたら嬉しいですよね。そこで，無限遠方（$r_0\to\infty$）を基準にとるわけです。

すると，$U_{\rmG}(r_0)=0$ となりますので，

$$U_{\rmG}(r_1)=-G\mskip 6mu\bun{mM}{r_1}\mskip 5mu$$が得られます。$r_1$ を $r$ で書き換えれば，

$$U_{\rmG}(r)=-G\mskip 6mu\bun{mM}{r}\mskip 5mu$$として万有引力の位置エネルギーが求まります。

$x<0$ の場合は万有引力の向きも変わるため，$x>0$ すなわち $r>0$ であるものとして考えている。

力学的エネルギー保存則

立式の形

万有引力の位置エネルギーを含めて，力学的エネルギー保存則を考えてみましょう。

惑星運動のように万有引力を考える状況において，物体の持つ力学的エネルギーは，

$$E=\mskip 4mu\bun12mv^2-G\mskip 6mu\bun{mM}{r}\mskip 5mu$$とかくことができます。

羽白

必ずといっていいほど，この形になります。

「え，重力の位置エネルギー $mgh$ とか弾性力の位置エネルギー $\Bun12kx^2$ はどこへ行ったの…？」と思った皆さん，素晴らしい着眼点ですね。

先程の例題で確認したように，重力の正体は万有引力です。したがって，万有引力の位置エネルギーを考える際に，重力の位置エネルギーを重複して考えることはありません。

ではばねの位置エネルギーは…？

生徒

次のような問題であれば，考える必要があります。

例

地球と月をばねでつなぎ，地球に初速度を与えたところ，地球と月は単振動した。単振動の周期を求めよ。

惑星運動のようなスケールの大きな話をしているのに，ばねが登場するのって「どんな状況だよ！」ってことなんですね。

ということで，弾性力の位置エネルギーが含まれることはまずありません。

力学的エネルギー保存則

万有引力の位置エネルギーを考えるとき，物体の持つ力学的エネルギーは，

$$E=\mskip 4mu\bun12mv^2-G\mskip 6mu\bun{mM}{r}\mskip 5mu$$で表される。

例題

半径 $R$，質量 $M$ の地球の地表付近から，質量 $m$ のロケットを真上に向かって速さ $v_0$ で打ち上げた。万有引力定数を $G$ とし，以下の問いに答えよ。

地球の中心からの距離が $r$ の位置における，ロケットの速さを $v$ とする。この点と，打ち上げ直後の点における力学的エネルギー保存則を立式せよ。

ロケットが無限遠方に飛び去るために，$v$ が満たすべき条件を求めよ。

(1)について

打ち上げ地点では，地球の中心からの距離が地球の半径 $R$ に等しいので，力学的エネルギーは，
$$E_0=\mskip 4mu\bun12mv_0\!^2-G\mskip 6mu\bun{mM}{R}\mskip 5mu$$です。

地球の中心からの距離が $r$ の点では，速さが $v$ であることを踏まえると，力学的エネルギーは，
$$E=\mskip 4mu\bun12mv^2-G\mskip 6mu\bun{mM}{r}\mskip 5mu$$と表せるので，力学的エネルギー保存則は，
$$\Bun12mv_0\!^2-G\mskip 6mu\bun{mM}{R}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun12mv^2-G\mskip 6mu\bun{mM}{r}\mskip 5mu$$と立式できます。