惑星運動の問題へのアプローチ

惑星運動の問題の解き方

基本方針

注目する惑星の軌道が円か楕円かで方針が大きく異なります。基本的な問題は以下の方針で解き進めることができます。

なかなかイメージしづらいと思いますので，例題を通じて解き方を確認していきましょう。

(1) の解き方

惑星が楕円軌道を描いて運動していますので，面積速度保存則と力学的エネルギー保存則の連立という定石通りの解法になります。

面積速度については，図のように「太陽と惑星を結ぶ直線（動径）と，速度ベクトルが作る三角形」をかいて考えるとわかりやすいですね。

近日点の面積速度は $\bun12r_1v_1$，遠日点の面積速度は $\bun12r_2v_2$ ですので，面積速度保存則より，

$$\Bun12r_1v_1=\bun12r_2v_2$$が得られます。

力学的エネルギー保存則についても，近日点と遠日点で，

$$\Bun12mv_1\!^2-G\bun{mM}{r_1}=\bun12mv_2\!^2-G\bun{mM}{r_2}$$と立式できますね。

これら2式を連立することで，
$$v_1=\sqrt{\bun{2GMr_2}{r_1(r_1+r_2)}},\ v_2=\sqrt{\bun{2GMr_1}{r_2(r_1+r_2)}}$$が得られます。

(2) の解き方

楕円の面積が単位時間あたりに面積速度ずつ塗りつぶされていくわけですね。

楕円を全て塗り終えるとちょうど地球が公転を終えることになりますので，楕円の面積を面積速度で割ることで周期が得られます。

よって求める周期は，

$$T=\bun{S}{\bun12r_1v_1}=\bun{\pi(r_1+r_2)}{\sqrt{2GM}}$$です。

$\bun{S}{\bun12r_2v_2}$ で計算しても当然同じ結果になります。

楕円について

面積の計算

まず，楕円とは「平面上のある2点からの距離が一定の点の集合」です。この2点が焦点と呼ばれていて，そのうち片方の点に太陽が存在することになります。

物理では，近日点距離 $r_1$ と遠日点距離 $r_2$ が与えられます。一方，楕円の長半径 $a$，短半径 $b$ を用いて，楕円の面積は $\pi ab$ と表されることが知られています。

よって，物理では以下を自力で計算できるようにしておくことが目標です。

長半径 $a$，短半径 $b$ についてそれぞれ考えていきます。

長半径 $a$ について

右図から，$r_1+r_2$ と $2a$ が等しいことがわかります。よって，
$$a=\bun{r_1+r_2}{2}$$として長半径 $a$ が求まります。

短半径 $b$ について

まず，図の$\rmA$点について考えます。2焦点から$\rmA$点までの距離の和は，$\rmA\rmF+\rmA\rmF'$ ですが，$\rmA\rmF=\rmF'\rmA'$ であるため，

$$\rmA\rmF+\rmA\rmF'=\rmF'\rmA'+\rmA\rmF'=\rmA\rmA'=r_1+r_2$$となります。

この距離は $\rmB\rmF+\rmB\rmF'$ でも等しくなりますが，$\rmB\rmF=\rmB\rmF'$ ですので，

$$\rmB\rmF=\bun{r_1+r_2}{2}$$ですね。

続いて，$\rmF\rmO$ ですが，対称性から明らかに $\rmF\rmO=\rmO\rmF'=\bun{FF'}{2}$ ですね。

$$\begin{aligned}\rmF\rmF'&=\rmA\rmA'-\rmA\rmF-\rmF'\rmA'\\&=\rmA\rmA'-2\rmA\rmF\\&=2a-2r_1\\&=r_2-r_1\end{aligned}$$が成り立つので，$\rmF\rmO=\bun{r_2-r_1}{2}$ であることがわかります。

直角三角形$\rmF\rmB\rmO$で三平方の定理を用いることで，
$$\begin{aligned} \rmF\rmB^2=\rmF\rmO^2+\rmB\rmO^2&\Leftrightarrow \left(\bun{r_1+r_2}{2}\right)^2=\left(\bun{r_2-r_1}{2}\right)^2+b^2 \end{aligned}$$と立式できるため，これを整理することで，
$$b=\sqrt{r_1r_2}$$が得られます。

面積の計算

以上から，$a=\bun{r_1+r_2}{2}$，$b=\sqrt{r_1r_2}$ であることがわかりましたので，楕円の面積は，

$$\pi ab=\Bun{\pi(r_1+r_2)\sqrt{r_1r_2}}{2}$$
として求まります。