物理基礎の復習
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運動エネルギー
目次1 運動エネルギー2 エネルギー収支関係3 まとめ 運動エネルギー 仕事の考察 前のセクションで仕事について学習しました。 このセクションでは，物体に仕事をするということについて少し踏み込んで考え ...
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位置エネルギー
目次1 保存力と非保存力2 重力の位置エネルギー3 弾性力の位置エネルギー4 位置エネルギーと保存力 保存力と非保存力 一般的な仕事 前のセクションで仕事について学習しました。 力を加えて物体を動かす ...
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位置エネルギーの再確認
エネルギーの概念
「運動エネルギー」と「位置エネルギー」について学習しました。
運動エネルギーは，物体が運動していることによって持つエネルギーです。
質量が $m$ の物体が速さ $v$ で運動しているとき，物体の持つ運動エネルギーは $K=\Bun12mv^2$ でしたね。
このエネルギーの分だけ，他の物体に仕事をすることができます。
位置エネルギーも運動エネルギーと同様に，他の物体に仕事をすることができる「能力」と考えることができます。
「位置」と名前が付いているくらいですから，「その位置にあることによって持つことができるエネルギー」ということになります。
重力を例に
重力を例に考えてみましょう。高い位置（高さ $h$ とします）にある物体から手を離すと物体は自由落下します。
この際，物体には重力 $mg$ が鉛直下向きに作用しますが，物体も下向きに $h$ だけ落下するわけですから，重力は $mgh$ の仕事をしますね。
物体の視点で考えれば「手を離してもらうだけで重力に $mgh$ の仕事をしてもらえる」という状況にあるわけです。
重力に仕事をしてもらうとどうなるでしょうか…？
仕事をしてもらえば，その分の運動エネルギーを得ることができますよね。
$\varDelta K=W$ の式の通りです。
つまり，高さ $h$ の位置にあるということ自体が，$mgh$ の仕事をしてもらってエネルギーを受け取れる「権利」を潜在的に持つことになるのです。
この「重力に仕事をしてもらってエネルギーを受け取れる権利」が重力の位置エネルギーの正体です。
高さ $h$ にある質量 $m$ の物体の位置エネルギーは $mgh$ であることが上の例から確認できますね。
重力の位置エネルギー
質量が $m$ の物体が基準点から高さ $h$ の位置に存在するとき，その物体は，
$$U_g=mgh$$だけ重力の位置エネルギーを持つ。
保存力の確認
位置エネルギーは「仕事をしてもらえる権利」なわけですが，この仕事が経路によって異なってしまっては困ります。
重力がもし非保存力だとしたら，高さが同じでも通る経路によって仕事が変わってしまうことになります。
これはつまり「高さ $h$ の場所にあっても，どのような経路をたどって地面に落ちるかによって受け取れる仕事が変わる」ということですよね。
これでは高さ $h$ における位置エネルギーというものを考えることができなくなってしまいますね。
重力が保存力であるがゆえに「高さ $h$ の場所から地面まで移動するのであれば，どのような経路を通るにしても受け取れる仕事が $mgh$ 」と決まっているからこそ，位置エネルギーを定義することができたわけです。
保存力は仕事が経路によらず，保存力に対してのみ，位置エネルギーを定義することができるという点を確認しておきましょう。
保存力の性質
保存力の性質
直線上の運動に限って保存力は，「位置が決まると力が決まる」という性質を持っています。
たとえば弾性力は，ばねの自然長からの伸び（つまり位置 $x$ ）がわかれば，力 $-kx$ が決まりますよね。
それゆえ保存力と考えることができます。
では摩擦力はどうでしょうか？
物体の位置が決まっても，どちらに進んでいるかという「運動の向き」が決まらないと力の向きが決まりません。
位置だけで力が決まらないため，保存力とはいえないわけです。
保存力かどうかの判断
このことがわかっていると，「その力が保存力なのか」を自分で考えることができるようになります。
たとえば，万有引力についても「2物体の配置が決まると力の大きさも向きも決まるから保存力！」と判断できますよね。
さらには，水中での鉛直方向の運動では「浮力を保存力として考えることもできる」ということなんかもわかるのです。
保存力と位置エネルギーの関係
握手会音チケット
アイドルの「握手会のチケット」を10枚持っていたとしましょう。
そのうち3枚を使ったら，残りは3枚です。
「そんなの当たり前じゃないか！バカにするな！」と思った皆さん，位置エネルギーも同じように考えてみてください。
「握手会のチケット」は「握手ができる権利」です！
使ってしまえば当然その分減ります。$10-3=7$ が手元に残りますよね。
位置エネルギーも同様に
「位置エネルギー」は「保存力に仕事をしてもらえる権利」でした。
行使すれば保存力に仕事をしてもらえますが，当然その分減ってしまうわけです。
保存力が仕事をすると，その分位置エネルギーが減少するということです。
$U=10$ の位置エネルギーを持っている物体が，保存力に $3$ の仕事をしてもらったら，残る位置エネルギーは $U=7$ になりますね。
このことから，
$$\stext{（位置エネルギーの減少量）}=\stext{（保存力の仕事：$W_{\text{保}}$）}$$
が成り立つことがわかります。
減少量は「（前）$-$（後）」，変化量は「（後）$-$（前）」でしたから，位置エネルギーの変化量 $\varDelta U$ を用いると，
$$\stext{（位置エネルギーの減少量）}=-\stext{（位置エネルギーの変化：$\varDelta U$）}$$
と表すことができます。
これらをまとめると，
$$\stext{（位置エネルギーの変化：$\varDelta U$）}=-\stext{（保存力の仕事：$W_{\text{保}}$）}$$
という関係を得ることができます。
位置エネルギーと保存力の仕事
保存力のした仕事を $W_{\text{保}}$ としたとき，位置エネルギーの変化 $\varDelta U$ は，
$$\varDelta U=-W_{\text{保}}$$と表される。
弾性力の位置エネルギー
弾性力の位置エネルギー $U_k$ が，$U_k=\Bun12kx^2$ の形になることは覚えていると思いますが，どのようにして導かれるのかを丁寧に確認していきましょう。
目標
$x$ だけ伸びた（縮んだ）ばねに繋がれた物体が持つ位置エネルギーが $U_k=\bun12kx^2$ であることを確認する。
さて，まずは状況の設定です。図のように，自然長を原点とし，ばねの伸びが $x$ となるような $x$ 軸をとります。
このとき，物体に作用する弾性力は向きに注意すると，$f=-kx$ ですね。
さて，この物体を，$x=x_0$ の位置から，$x=x_1$ の位置まで移動させたとしましょう。
まずは，この移動の際に弾性力がした仕事を求めます。
仕事は，力を積分することで求められるのでした。
$x=x_0$ から $x=x_1$ までの移動ですので，弾性力の仕事$W_k$ は，
$$\begin{aligned}W_k&=\int_{x_0}^{x_1}(-kx)\dx\\&=\Bigl[-\bun12kx^2\Bigr]_{x_0}^{x_1}\\&=-\bun12kx_1\!^2+\bun12kx_0\!^2\end{aligned}$$と求めることができます。
この $W_k$ は「保存力である弾性力の仕事」ですから，$\varDelta U=-W_{\text{保}}$ の関係式から，弾性力の位置エネルギーの変化量 $\varDelta U_k$ を求めることができますね。
$$\varDelta U_k=-W_k=\bun12kx_1\!^2-\bun12kx_0\!^2$$となります。
$\varDelta U_k$ は，$x=x_0$ と $x=x_1$ における位置エネルギーの変化を表していますので，
$$\varDelta U_k=U_k(x_1)-U_k(x_0)$$と表記できます。
これはあくまで「変化量」ですので，基準を決めましょう。
移動のスタート地点が基準点となりますが，通常は $x_0=0$ （つまりばねが自然長の位置）としますよね。
基準点での位置エネルギーは $0$ ですので，$U_k(x_0)=0$ です。これらを合わせると，
$$U_k(x_1)=\bun12kx_1\!^2$$という式にまとめることができます。
$x_1$ を $x$ で書き換えれば，
$$U_k(x)=\bun12kx^2$$という弾性力の位置エネルギーを表す式が出てきます。
これで目標達成ですね！
保存力と位置エネルギーの関係の一般化
今回は弾性力で確認しましたが，他の保存力についても同様の方法で位置エネルギーを決定することができます。
保存力がわかっているとき，その保存力を $x$ で積分し（仕事を求め），それを $-1$ 倍することで位置エネルギーの変化量 $\varDelta U$ を求め，基準を定めることで位置エネルギー $U$ が得られるということです。
逆に，位置エネルギーがわかっているときは，その位置エネルギー$U$ を $x$ で微分して $-1$ 倍すれば，力がわかるということになりますね。
これを数式で表すと，
$$f=-\bun{\dU}{\dx}$$となります。
ちょっと難しい話なのですが，ここまで理解できていると電磁気の学習が非常にスムーズになります。