物理基礎の復習
「仕事」の復習はこちら！
-
-
仕事
目次1 仕事とは2 物理学での仕事3 仕事率4 仕事の原理 仕事とは 物理でいうところの「仕事」 「仕事」という言葉は日常生活でよく耳にすると思いますが，物理で扱う「仕事」はまた別の意味を持っています ...
続きを見る
仕事の再確認
内積を用いた仕事の表現
仕事，エネルギー絡みについては入試でも出題頻度が非常に高く，重要な内容ですので改めて理解を深めておきましょう。
「仕事ができない大人」なんてカッコ悪いですよね。皆さんは「仕事が得意な受験生」を目指しましょう。
さて，仕事の計算方法は物理基礎で学習した通りです。$W=Fs\cos\theta$ でした。
この形，よくよく見ると何かに見えてきませんか…？
ベクトルの内積ですね！！
力を $\vec{F}$，物体の変位を $\vec{s}$，$\vec{F}$ と $\vec{s}$ のなす角度を $\theta$ としたとき，$\vec{F}$ と $\vec{s}$ の内積は，
$$\vec{F}\cdot\vec{s}=Fs\cos\theta$$と計算できますよね。
これが仕事と全く同じ形になっているので，$$W=\vec{F}\cdot\vec{s}$$とまとめることができます。
内積を用いた仕事の表現
力を $\vec{F}$，物体の変位を $\vec{s}$，$\vec{F}$ と $\vec{s}$ のなす角度を $\theta$ としたとき，$\vec{F}$ が物体にした仕事$W$ は，
$$W=\vec{F}\cdot\vec{s}$$
実際の仕事の計算
実際に仕事を計算する際には，$Fs\cos\theta$ を，$s\cdot F\cos\theta$ とみて考えると便利です。
$F\cos\theta$ は，物体の移動方向の力の成分ですので，「移動方向に力がどれだけ物体を引っ張ったか」によって仕事が決まっていることがわかります。
移動する物体に対して，移動方向に力が作用すると，その力は仕事をしたことになるのでした。
特に以下の場合については頻出ですので，速やかに仕事を計算できるようにしておきましょう。
$\theta=0\Deg \stext{の場合：}\cos\theta=1$
物体の移動方向と力の向きが一致している状況。$W=Fs$ で計算できる。
$\theta=90\Deg\stext{の場合：}\cos\theta=0$
物体の移動方向と垂直な向きに力が作用している状況。$W=0$ となる。
$\theta=180\Deg\stext{の場合：}\cos\theta=-1$
物体の移動方向正反対の向きに力が作用している状況。$W=-Fs$ で計算できる。
それぞれの状況を図示して整理すると次の通りです。
力方向の移動距離を考える方法
$Fs\cos\theta$ は，$F\cdot s\cos\theta$ とみることもできます。
$s\cos\theta$ は，力の方向の変位（力の向きにどれだけ進んだか）を表している値です。
よって，
$$W=\stext{\hspace{-.5em}（力の大きさ）}\times\stext{\hspace{-.5em}（力の向きに移動した距離）}$$として仕事を計算することもできます。
一般的な仕事の定義
内積での表現の限界
「仕事についてはここまで丁寧に確認したし，もう完璧！」といいたいところなのですが，残念ながら「仕事が得意な受験生」への道のりはまだ遠いのです。
もう少し仕事について深く見てきましょう。
弾性力の仕事
ばね定数が $k$ のばねがある。自然長からばねを $x_1$ だけ伸ばしたとき，弾性力がした仕事を求めよ。
さて，この仕事，計算できますか…？
これまでに学習した仕事の式 $W=Fs\cos\theta$ は，$F$ が一定であり，変位も途中で向きが変わらないときしか使えません。
弾性力はばねの伸び $x$ によって力の大きさが変わってしまうので，$W=Fs\cos\theta$ の式から仕事を計算することはできないのです。
仕事の定義の拡張
そこで，力の大きさが位置によって変わっても計算できるように，仕事の定義を拡張します。
仕事の定義
物体が $x$ 軸上を $x=x_0$ から $x_1$ まで移動するとき，力 $F$ のする仕事は，$x$ 成分 $F_x$ を用いて，
$$\displaystyle W=\int_{x_0}^{x_1}F_x\dx$$で表される。
意味としては，「力のした仕事は，その力の，物体が移動している方向成分を位置 $x$ で積分すれば得られる」ということですね。
公式の式を暗記するのではなく，意味をしっかりと確認しておきましょう。
例題
$x$ 軸上を運動する物体に対し，図の $\theta$ の向きに力 $F$ が加えられている。物体が $x=x_1$ から $x=x_2$ まで移動したときに，力のした仕事を求めよ。
力の $x$ 方向成分は $F\cos\theta$ なので，
$$W=\int_{x_0}^{x_1}F\cos\theta\dx=F(x_2-x_1)\cos\theta$$
$x_2-x_1$ は物体の変位 $s$ に等しいので，$W=Fs\cos\theta$ というおなじみの形が出てきましたね。
弾性力の仕事の計算
では最初の問題に戻りましょう。拡張した仕事の定義を用いることで，弾性力の仕事も計算することができます。
例題
ばね定数が $k$ のばねがある。自然長からばねを $x_1$ だけ伸ばしたとき，弾性力がした仕事を求めよ。
ばねが自然長となる位置を原点とし，ばねが伸びる向きに $x$ 軸をとる。
位置 $x$ において，物体に作用する弾性力は $f=-kx$ とかける。
よって，求める仕事は，
$$W_k=\int_0^{x_1}(-kx)\dx=\Bigl[-\mskip 6mu\bun12kx^2\Bigr]_0^{x_1}=-\mskip 6mu\bun12kx_1^2$$
無事に計算できました！
これでよほどへんてこりんな力でない限り，仕事を計算できるはずです。
「仕事が得意な受験生」の仲間入りですね！
面積から考える仕事
数学でよく扱う，横軸が $x$，縦軸が $y$ のグラフは，面積が $S=\displaystyle\int y\dx$ で計算できますよね。
では，$W=\displaystyle\int F\dx$ で表される仕事は，どんなグラフの面積になるでしょう？
難しく考えず，普段の数学のグラフと対応させて考えるのがポイントですね。
$x$ はどちらも共通で，$y$ と $F$ が対応していますね。
つまり，仕事は「横軸が $x$，縦軸が $F$ のグラフの面積」として考えることもできるのです。
$F-x$ グラフと仕事
横軸に位置 $x$，縦軸に力 $F$ を取ったグラフの面積 $\displaystyle\int F\dx$ は，仕事を表す。