仕事

仕事とは

物理でいうところの「仕事」

「仕事」という言葉は日常生活でよく耳にすると思いますが，物理で扱う「仕事」はまた別の意味を持っています。

まずは仕事の考え方に慣れるために，以下のような例を考えてみましょう。

普通に考えれば，「働き者のAさん，怠け者のBさん」になるのは間違いないと思いますが，「物理で考える仕事」に注目すると，「AさんよりもBさんのほうが仕事をした」というのが正しい結論になります。

このように「物理で扱う仕事」は「日常生活での仕事」とは異なります。

後に扱うエネルギーとも密接なつながりがある内容ですので，しっかり理解をしておきましょう。

物理学での仕事

物理で扱う「仕事」

では具体的に物理で扱う仕事について学習していきましょう。

まず，仕事をするのは人でも物体でもなく力であるということを理解してください。

「重力がする仕事」「動摩擦力がする仕事」といったように，力に対してそれぞれ仕事を考えます。

仕事の大きさは，作用する力と物体の動きによって定義されます。

図のように物体が移動した場合，力$F$ のした仕事は，

$$W=Fs\cos\theta$$として定義されます。

これは向きのないスカラー量ですので気をつけてください。

単位は，「（力）$\times$（移動距離）」の形からも $\punit{N\cdot m}$ であることがわかりますが，この単位を1文字にまとめて $\punit{J}$（ジュール）と呼びます。

また，$Fs\cos\theta$ は，$F\cdot s\cos\theta$ とみることができますので，「力の向きに物体がどれだけ移動したか」によって決まっていることがわかります。

物体に力が作用して，その力の向きに物体が移動した際にその力は仕事をしたことになるのです。

仕事の捉え方

また，$Fs\cos\theta$ は，$s\cdot F\cos\theta$ とみることができます。

$F\cos\theta$ は，物体の移動方向の力の成分ですので，「移動方向に力がどれだけ物体を引っ張ったか」によって仕事が決まっていることがわかります。

移動する物体に対して，移動方向に力が作用すると，その力は仕事をしたことになるのです。

いくつか簡単な具体例を考えてみましょう。

$\theta=90\Deg$ の場合

「力は作用しているけれど，力の向きには物体は動いていない」という状況です。

この場合，力のした仕事は $Fs\cos90\Deg=0$ となります。

$\theta=180\Deg$ の場合

「力が作用している向きと正反対に物体が動いている」という状況になります。

力のした仕事は $Fs\cos180\Deg=-Fs<0$ となりますので，「力は物体に対して負の仕事をした」ということができます。

このように，仕事はスカラー量であり，$0$ になることも，負の値になることもあるのでしっかりと具体例で理解しておきましょう。

この例からもわかりますが先ほども説明した通り，力1つに対して仕事1つが決まります。

仕事は力がするものであり，「斜面が物体にした仕事」というような考え方はできないので注意しましょう。

最初の例の確認

ここまでの学習を踏まえて最後に，AさんとBさんの話を振り返ってみましょう。

Aさんは物体を支えているので上向きの垂直抗力を及ぼしていますが，物体が移動したのは前向きに $10\punit{km}$ です。

よって，Aさんのした仕事（正確にはAさんが物体に及ぼす垂直抗力のした仕事）は，

$$W\SUB{A}=N\SUB{A}\cdot 10\cdot\cos90\Deg=0$$になります。

一方，Bさんは物体に上向きの垂直抗力を及ぼしながら，物体を上向きに持ち上げています。

机の高さを $h$ とすれば，Bさんのした仕事（正確にはBさんが物体に及ぼす垂直抗力のした仕事）は，

$$W\SUB{B}=N\SUB{B}h\cdot\cos0\Deg=N\SUB{B}h>0$$です。

$h$ がいくら小さくても仕事が正の値なので，確かにAさんよりも仕事をしていることがわかりますね。

仕事率

仕事の効率

先ほど，AさんとBさんの仕事について比較をしましたが，以下のCさんがいた場合はどうでしょうか。

やっていることはBさんと全く同じなので，BさんとCさんがした仕事は同じ値です。

Bさんは3時間で，Cさんは10分でこの仕事を成し遂げたわけなので，どちらが効率よく仕事をしているかといわれたら圧倒的にCさんのほうが効率がよいことはいうまでもないでしょう。

仕事率

このように，力が同じ仕事をした場合でも，かかった時間によって効率が変わってくるため，単位時間（1秒あたり）にした仕事を考えると便利です。

この「単位時間あたりにした仕事」のことを，仕事率と呼びます。

定義の通り，仕事 $W\punit{J}$ を時間 $t\s$ で割ったものですので，仕事率 $P$ は，

$$P=\mskip 4mu\bun{W}{t}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{Fs\cos\theta}{t}\mskip 5mu$$とかくことができます。

単位は，$\punit{J/s}$ となるはずですが，この単位を1文字にまとめて $\punit{W}$（ワット）と呼びます。

物体が等速度運動をしている場合であれば，$v=\mskip 4mu\bun{s}{t}\mskip 5mu$ が成り立つので，
$$P=Fv\cos\theta$$と表すことができますね。

仕事の原理

道具を使うと

さて，これまで仕事や仕事率の話をしてきました。

物体に力を加えて，その力の向きに動かすことで仕事が発生します。

物理の問題ではよく滑車や糸などの道具が登場しますが，こうした道具を使うと物体を持ち上げる際により小さい力で持ち上げたりすることができます。

次のような例を見てみましょう。

質量が $m$ の物体を真上に $h$ だけ持ち上げる場合，物体を支えなければいけない力の大きさ $F$ は，$F=mg$ であることは容易にわかりますね。

では，坂道と滑車を使う場合はどうでしょうか。

図を参考にしながら力のつり合いを立式すると，糸の張力 $T$ は，
$$T=mg\sin\theta$$として求まります。

これは必ず $mg$ より小さい値になりますので，真上に持ち上げる際に必要な力 $F$ よりも小さいといえます。

糸の張力はどこでも同じ大きさですので，坂道の右側に垂れ下がった糸を下向きに $T$ の力で引っ張れば物体は斜面上をゆっくりと上向きに動いてくれます。

滑車と斜面を使ったことで，確かにより小さな力で物体を持ち上げることができていますね。

仕事の比較

では，同じ高さ $h$ だけ持ち上げる際に必要となる仕事はどうでしょうか？

坂道と滑車を使わない場合は，上向きに $F=mg$ の力で $h$ だけ持ち上げればよいので，必要な仕事は，

$$W_1=mgh$$として計算することができます。

一方，坂道と滑車を使う場合には，小さな力で物体を持ち上げられますが，高さ $h$ だけ持ち上げるためには糸を $\Bun{h}{\sin\theta}\mskip 5mu\,(>h)$ だけ持ち上げなければいけません。

物体を引っ張る張力 $T$ は上で求めた通り，$T=mg\sin\theta$ ですので，張力が物体にする仕事は，

$$W_2=T\cdot\mskip 6mu\bun{h}{\sin\theta}\mskip 5mu=mgh$$として求めることができます。

軽い力で動かせたけれども，その分たくさん動かさなければいけなくなってしまい，結局 $h$ だけ持ち上げる際に必要な仕事は同じであることがわかりました。

このように，道具を使うとより小さな力で物体を動かせるものの，同じ距離だけ物体を移動させるのに必要な仕事は減らせないことが知られています。

この原理を仕事の原理と呼びます。

計算問題で使用する機会は少ない原理かもしれません。

「ふーん，道具を使っても仕事の楽をすることはできないのかぁ。」くらいの認識で理解してもらえれば十分です。