力学 物理

三角台における束縛条件

羽白 いむ

東京大学医学部医学科卒 現役医師
東大指導専門塾鉄緑会 物理・数学科元講師
物理基礎のトリセツ著者
数学のトリセツ共著者

三角台が絡む束縛条件

これまでは固定されていることが多かった三角台。地面と三角台の間に摩擦が働かない場合，三角台も動き始めます。

このような状況でも束縛条件を考える必要があります。

羽白

例題を通して確認していきましょう。

例題

滑らかな床の上に，傾斜角が θ\theta で滑らかな斜面を持つ，質量MM の三角台が置かれている。床からの高さが hh の位置に質量mm の物体を置き，そっと手を離すと，三角台と物体は運動を始めた。重力加速度の大きさを gg として，以下の設問に答えよ。

三角台の加速度を右向きに AA，物体の加速度の左方向成分を axa_x，鉛直下方向成分を aya_y とする。A, ax, ayA,\,a_x,\,a_y が満たすべき関係式を求めよ。

各物体についての運動方程式を立式せよ。

物体が地面に到達する直前に持つ運動エネルギーを求めよ。

静止系での議論

物体と三角台の動き

まずは物体と三角台の動きを整理しましょう。次図の通りになります。

静止系で考える際，物体の動く向きは三角台の斜面に平行になりません。この点が最大のポイントです。

物体は斜面から離れずに運動するため，何らかの制約を受けているはずであり，これが今回考えるべき束縛条件になります。

加速度の制約

物体と三角台の動く向きがそれぞれわかりましたが，この向きは加速度の向きでもあります。

静止系における物体の加速度の大きさを aa とすると，その左方向成分が axa_x，鉛直下方向成分が aya_y ですので，加速度の関係は図の通りに整理できます。

左の加速度の図を整理したものが右側の図になります。

物体と三角台の加速度の終点を結んだ補助線をかきましたが，この線が台の斜面に平行になることがわかりますね。

このことから，右図の直角三角形の右側の角度が θ\theta であることがいえますので，

tan⁡θ=ayax+A\tan\theta=\Bun{a_y}{a_x+A}と立式できます。

これが束縛条件であり，(1) の答えになります。

ベクトルの図での整理

ところで，物体の加速度を a→\vec{a}，三角台の加速度を A→\vec{A} とすると，先ほど考えた補助線と a→−A→\vec{a}-\vec{A} の向きが一致します。

ar→=a→−A→\vec{a_r}=\vec{a}-\vec{A} は，三角台に対する物体の相対加速度ですね。

これは「三角台の視点から見た物体の加速度」ですから，斜面に平行になるのは当然のことなのです。

運動方程式

続いて，(2) についてです。物体と三角台の力の作用図をそれぞれかきましょう。

この際，垂直抗力は斜面に垂直な向きになることに注意します。

物体については，左向き，鉛直下向きにそれぞれ運動方程式を立式します。図から，

max=Nsin⁡θ, may=mg−Ncos⁡θma_x=N\sin\theta,\ ma_y=mg-N\cos\thetaであることがわかりますね。

三角台については，右向きに

MA=Nsin⁡θMA=N\sin\thetaと立式すればokです。

これらが (2) の答えです。

運動エネルギー

さて，最後は物体の運動エネルギーです。

まずは鉛直方向の運動に注目して等加速度運動の公式を立式しましょう。

加速度が aya_y，移動距離が hh ですので，物体が地面に到達するまでにかかる時間を TT とすれば，

h=12ayT2h=\bun12a_yT^2ですね。

このとき，物体の鉛直方向の速度の大きさは ayTa_yT，水平方向の速度の大きさは axTa_xT ですので，運動エネルギーは，

K=12m{(axT)2+(ayT)2}=12m(ax2+ay2)T2=mh(ax2ay+ay)\begin{aligned} K=\bun12m\left\{(a_xT)^2+(a_yT)^2\right\}&=\bun12m(a_x\!^2+a_y\!^2)T^2\\ &=mh\left(\bun{a_x\!^2}{a_y}+a_y\right)\end{aligned}で計算できることがわかります。

ということで，axa_x と aya_y を求めるのが目標です。

先ほど立式した束縛条件，運動方程式は 式の数が4つで，未知数も ax, ay, A, Na_x,\,a_y,\,A,\,N の4つですので，連立することで解けるはずです（とてもとても解きたくないですが…！）。

羽白

頑張って計算しましょう。途中過程を以下に掲載しておきます。

計算の途中過程

運動方程式より，

ax=Nsin⁡θm, ay=g−Ncos⁡θm, A=Nsin⁡θMa_x=\bun{N\sin\theta}{m},\ a_y=g-\bun{N\cos\theta}{m},\ A=\bun{N\sin\theta}{M}が得られるので，これを束縛条件の式に代入して，

(Nsin⁡θm+Nsin⁡θM)tan⁡θ=g−Ncos⁡θm⇔N(Msin⁡2θ+Mcos⁡2θ+msin⁡2θ)=mMgcos⁡θ⇔N=mMcos⁡θM+msin⁡2θg\begin{aligned} &\left(\bun{N\sin\theta}{m}+\bun{N\sin\theta}{M}\right)\tan\theta=g-\bun{N\cos\theta}{m}\\ \Leftrightarrow{}& N(M\sin^2\theta+M\cos^2\theta+m\sin^2\theta)=mMg\cos\theta\\ \Leftrightarrow{}& N=\bun{mM\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}g \end{aligned}

NN を各運動方程式に代入して整理して，

ax=Msin⁡θcos⁡θM+msin⁡2θg, ay=(m+M)sin⁡2θM+msin⁡2θg, A=msin⁡θcos⁡θM+msin⁡2θg\begin{aligned} a_x=\bun{M\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}g,\ a_y=\bun{(m+M)\sin^2\theta}{M+m\sin^2\theta}g,\ A=\bun{m\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}g \end{aligned}

よって，
K=mh(ax2ay+ay)=mM2+(m2+2mM)sin⁡2θ(m+M)(M+msin⁡2θ)gh\begin{aligned} K&=mh\left(\bun{a_x\!^2}{a_y}+a_y\right)\\ &=\bun{m{M^2+(m^2+2mM)\sin^2\theta}}{(m+M)(M+m\sin^2\theta)}gh \end{aligned}

とんでもない計算量でしたね…。こればかりは慣れるしかないでしょう。

三角台の運動エネルギー

本文では問われていませんが，三角台の運動エネルギーについても同様に計算できます。

K′=12M(AT)2=Mm2cos⁡2θ(M+m)(M+msin⁡2θ)ghK\prime =\Bun12M(AT)^2=\bun{Mm^2\cos^2\theta}{(M+m)(M+m\sin^2\theta)}ghとなります。

そして，物体と三角台の運動エネルギーの和を計算してみると，

K+K′=mghK+K\prime =mghが得られます。

驚くほどスッキリしましたね…！mghmgh は物体が失った位置エネルギーですので，「物体が失った位置エネルギーが，物体と三角台の運動エネルギーに変わった」ものと考えられます。

まさに力学的エネルギー保存則ですね。

生徒

垂直抗力の仕事について

ここで，「物体の進行方向と垂直抗力の向きは直交しないから，垂直抗力は仕事をするのでは…？」と思ったあなた。とても鋭いですね。

この点については，相対運動の内容を全て学習し終えてから再度考えてみてください。きっとスッキリ理解できるはずです。

例題からも確認できる通り，三角台がからむ束縛条件の問題は以下の方針で解くことが多いです。

三角台がらみの束縛条件

物体，三角台の静止系における加速度を始点をそろえてかき，終点を結ぶ。この直線が斜面に平行になることを利用する。

加速する座標系での議論

運動方程式

なお，はじめから三角台と共に動く視点を導入して解くことも可能です。

この視点における物体の加速度の大きさを ara_r とします。

力の作用図は上の通りですが，慣性力が作用することに気をつけましょう。

斜面に垂直な方向の力のつり合いより，

N+mAsin⁡θ=mgcos⁡θN+mA\sin\theta=mg\cos\thetaが，斜面に平行な方向の運動方程式より，

mar=mAcos⁡θ+mgsin⁡θma_r=mA\cos\theta+mg\sin\thetaが成り立ちます。

三角台の運動方程式は，静止系で考えて MA=Nsin⁡θMA=N\sin\theta でokです。

この時点で，式の数が3つ，未知数も ar, A, Na_r,\,A,\,N の3つですので，連立すると解くことができます。

整理すると，

ar=(m+M)sin⁡θM+msin⁡2θg, A=msin⁡θcos⁡θM+msin⁡2θg, N=mMcos⁡θM+msin⁡2θga_r=\bun{(m+M)\sin\theta}{M+m\sin^2\theta}g,\ A=\bun{m\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}g,\ N=\bun{mM\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}gが得られます。

物体が斜面上を滑る距離は hsin⁡θ\Bun{h}{\sin\theta} なので，

hsin⁡θ=12arT2\bun{h}{\sin\theta}=\bun12a_rT^2と立式できます。

TT を求めるだけであれば，こちらの方法のほうが容易ですね。

運動エネルギーの計算

では，物体の運動エネルギーKK を求めるにはどうしたらよいでしょうか。

K=12m(arT)2K=\Bun12m(a_rT)^2 でないことに気をつけてくださいね。

arTa_rT は，三角台の視点から見たときの物体の運動エネルギーであり，静止系における運動エネルギーとは当然異なります。

静止系における物体の速さを求める必要が生じるため，静止系における物体の加速度aa を求める必要があります。

aa が求まれば，K=12m(aT)2K=\Bun12m(aT)^2 として運動エネルギーを計算することができます。

そこで，ar→=a→−A→\vec{a_r}=\vec{a}-\vec{A} の図を再び利用しましょう。図の色の付いた直角三角形に三平方の定理を用いることで，

a2=(arsin⁡θ)2+(arcos⁡θ−A)2a^2=(a_r\sin\theta)^2+(a_r\cos\theta-A)^2であることがわかります。

ここから先はひたすら計算です。この計算ばかりは楽をすることはできませんので，頑張るしかありません。

まとめ

以上，2通りの方法を紹介しました。

問題の状況や，設問に応じてどちらの方法でも考えられるようにしておくべきです。

いずれにしてもポイントとなるのは「物体，三角台の静止系における加速度を始点をそろえてかき，終点を結んだ図」です。

ar→=a→−A→\vec{a_r}=\vec{a}-\vec{A} の関係を表すこの図をしっかりと使いこなせるようにしておきましょう！

Prev
‹
Next
›

-力学, 物理

S