力学

エネルギー保存則

羽白 いむ

東京大学医学部医学科卒 現役医師
東大指導専門塾鉄緑会 物理・数学科元講師
物理基礎のトリセツ著者
数学のトリセツ共著者

物理基礎の復習

「力学的エネルギー」の復習はこちら!

力学的エネルギー

目次1 エネルギーの変換2 力学的エネルギー保存則3 非保存力が仕事をする場合のエネルギー収支関係4 エネルギー保存則の意義 エネルギーの変換 運動エネルギーと位置エネルギー 位置エネルギーは「仕事を ...

続きを見る

エネルギー収支関係の確認

羽白

仕事や位置エネルギーの理解が深まった状態で,エネルギー収支関係について改めて確認してみましょう。

物体は仕事をされると,その分運動エネルギーが増えるのでした。これを数式で表現すると,

$$\varDelta K=W$$です。

力の分解

右辺の $W$ は,合力の仕事を表しています。

この合力は,物体に作用する様々な力を含んでいます。

保存力A,保存力B,保存力C,…,非保存力A,非保存力B,非保存力C,…,といったイメージです。これらのすべての力の仕事の和が合力の仕事です。

よって,

$$W=W_{\stext{保A}}+W_{\stext{保B}}+W_{\stext{保C}}+\cdots +W_{\stext{非A}}+W_{\stext{非B}}+W_{\stext{非C}}+\cdots$$

という形に書き換えることができます。

式の整理

これだとばらばらで大変なので,保存力の仕事は保存力の仕事の和,非保存力の仕事は非保存力の仕事の和としてまとめましょう。

$$\begin{aligned} \sum W_{保}&=W_{\stext{保A}}+W_{\stext{保B}}+W_{\stext{保C}}+\cdots\\\sum W_{非}&=W_{\stext{非A}}+W_{\stext{非B}}+W_{\stext{非C}}+\cdots\end{aligned}$$とすれば,運動エネルギーの変化と仕事の関係式は,

$$\varDelta K=\sum W_{保}+\sum W_{非}$$と書き換えられます。

右辺の $\sum W_{保}$ を移項すると,

$$\varDelta K+\sum (-W_{保})=\sum W_{非}$$という形になります。

羽白

なにか素敵な形が見えてきませんか…?

そう,「$-W_{\stext{保}}$」です!

生徒

$\varDelta U=-W_{保}$ の関係式を使えば,

$$\varDelta K+\sum\varDelta U=\sum W_{非}\stext{\quad……\ ①}$$という形に整理することができます。

左辺を日本語で表現すると,「運動エネルギーの変化量と,位置エネルギーの変化量の合計の和」です。

力学的エネルギーの導入

なんだかややこしくなってきましたが,ここで,力学的エネルギーというものを思い出しましょう。

$$\stext{\hspace{-.5em}(力学的エネルギー)}=\stext{\hspace{-.5em}(運動エネルギー)}+\stext{\hspace{-.5em}(位置エネルギーの和)}$$

でした。

物理基礎では保存力として重力と弾性力のみを考えていた。

それに伴い,位置エネルギーの和も「重力の位置エネルギー」と「弾性力の位置エネルギー」の和として考えていたが,物理の範囲ではそれ以外にも保存力が出てくるため,すべての保存力の位置エネルギーの和として考える。

とすれば!「運動エネルギーの変化量と,位置エネルギーの変化量の合計の和」は,「力学的エネルギーの変化量」といい換えることができてしまいますね!

$\varDelta E$ を使って①式を書き換えると,

$$\varDelta E=\sum W_{\stext{非}}\stext{\quad……\ ②}$$となります。

左辺が「力学的エネルギーの変化量」,右辺が「非保存力の仕事」ですので,「非保存力が仕事をしたとき,その仕事の分だけ物体の力学的エネルギーが変化する」という関係が出てきました!!

力学的エネルギーと非保存力の仕事

非保存力が仕事をしたとき,その仕事の分だけ物体の力学的エネルギーが変化する。

$$\varDelta E=\sum W_{\stext{非}}$$

力学的エネルギー保存則の導出

羽白

ここまでで十分感動レベルなのですが,もう少し!

非保存力が仕事をしない場合にはどうなるでしょう…? ②式の右辺が $0$ になります。

$\varDelta E=0$ という式が得られますが,これってつまり「力学的エネルギーの変化量が $0$」ということです。

「変化量が $0$」ということは,「変化しない」ということですよね。

生徒

つまり!「非保存力が仕事をしない場合には力学的エネルギーが保存される」ということです!

力学的エネルギー保存則そのものが出てきました!

力学的エネルギー保存則

非保存力が仕事をしないとき,物体の力学的エネルギーが保存される。

どうですか!涙が出るくらい感動的じゃないですか…?

これまで覚えてきた式がすべて導出できて,しかも「力学的エネルギーが保存される条件が,非保存力が仕事をしないこと」という重要事項まで導けました!

羽白

今まで覚えていた「公式」達が見事に繋がりましたね!バンザイ!

-力学