エネルギー保存則

物理基礎の復習

エネルギー収支関係の確認

羽白

仕事や位置エネルギーの理解が深まった状態で，エネルギー収支関係について改めて確認してみましょう。

物体は仕事をされると，その分運動エネルギーが増えるのでした。これを数式で表現すると，

$$\varDelta K=W$$です。

力の分解

右辺の $W$ は，合力の仕事を表しています。

この合力は，物体に作用する様々な力を含んでいます。

保存力Ａ，保存力Ｂ，保存力Ｃ，…，非保存力Ａ，非保存力Ｂ，非保存力Ｃ，…，といったイメージです。これらのすべての力の仕事の和が合力の仕事です。

よって，

$$W=W_{\text{保Ａ}}+W_{\text{保Ｂ}}+W_{\text{保Ｃ}}+\cdots +W_{\text{非Ａ}}+W_{\text{非Ｂ}}+W_{\text{非Ｃ}}+\cdots$$

という形に書き換えることができます。

式の整理

これだとばらばらで大変なので，保存力の仕事は保存力の仕事の和，非保存力の仕事は非保存力の仕事の和としてまとめましょう。

$$\begin{aligned} \sum W_{保}&=W_{\text{保Ａ}}+W_{\text{保Ｂ}}+W_{\text{保Ｃ}}+\cdots\\\sum W_{非}&=W_{\text{非Ａ}}+W_{\text{非Ｂ}}+W_{\text{非Ｃ}}+\cdots\end{aligned}$$とすれば，運動エネルギーの変化と仕事の関係式は，

$$\varDelta K=\sum W_{保}+\sum W_{非}$$と書き換えられます。

右辺の $\sum W_{保}$ を移項すると，

$$\varDelta K+\sum (-W_{保})=\sum W_{非}$$という形になります。

羽白

なにか素敵な形が見えてきませんか…？

そう，「$-W_{\text{保}}$」です！

生徒

$\varDelta U=-W_{保}$ の関係式を使えば，

$$\varDelta K+\sum\varDelta U=\sum W_{非}\stext{\quad……\ ①}$$という形に整理することができます。

左辺を日本語で表現すると，「運動エネルギーの変化量と，位置エネルギーの変化量の合計の和」です。

力学的エネルギーの導入

なんだかややこしくなってきましたが，ここで，力学的エネルギーというものを思い出しましょう。

$$\stext{（力学的エネルギー）}=\stext{（運動エネルギー）}+\stext{（位置エネルギーの和）}$$

でした。

とすれば！「運動エネルギーの変化量と，位置エネルギーの変化量の合計の和」は，「力学的エネルギーの変化量」といい換えることができてしまいますね！

$\varDelta E$ を使って①式を書き換えると，

$$\varDelta E=\sum W_{\text{非}}\text{\quad……\ ②}$$となります。

左辺が「力学的エネルギーの変化量」，右辺が「非保存力の仕事」ですので，「非保存力が仕事をしたとき，その仕事の分だけ物体の力学的エネルギーが変化する」という関係が出てきました!!

力学的エネルギー保存則の導出

羽白

ここまでで十分感動レベルなのですが，もう少し！

非保存力が仕事をしない場合にはどうなるでしょう…？ ②式の右辺が $0$ になります。

$\varDelta E=0$ という式が得られますが，これってつまり「力学的エネルギーの変化量が $0$」ということです。

「変化量が $0$」ということは，「変化しない」ということですよね。

生徒

つまり！「非保存力が仕事をしない場合には力学的エネルギーが保存される」ということです！

力学的エネルギー保存則そのものが出てきました！

どうですか！涙が出るくらい感動的じゃないですか…？

これまで覚えてきた式がすべて導出できて，しかも「力学的エネルギーが保存される条件が，非保存力が仕事をしないこと」という重要事項まで導けました！

羽白

今まで覚えていた「公式」達が見事に繋がりましたね！バンザイ！