エネルギーの変換
運動エネルギーと位置エネルギー
位置エネルギーは「仕事をしてもらってエネルギーを獲得できる権利」という内容を学習しました。
高さ $h$ の位置にある物体は，重力に $mgh$ だけ仕事をしてもらうことができます。
仕事をしてもらえばその分運動エネルギーが増えるので，運動エネルギーを $mgh$ だけ獲得できる状態，と考えることができるのでした。
このように，位置エネルギーは「その権利を行使する」ことによって運動エネルギーに変えることができます。言い換えれば，位置エネルギーが減った分，運動エネルギーが増える，ということです。
位置エネルギーを運動エネルギーに変えることができるなら，運動エネルギーも位置エネルギーに変えられるはず…？
では逆に，運動エネルギーを位置エネルギーに変えることはできるのでしょうか。鉛直投げ上げ運動を例に考えてみましょう。
例題
質量が $m$ の物体を地面から初速度 $v$ で鉛直上向きに投げ上げる。このとき，物体が最高点に達した際に持つ重力の位置エネルギーを求めよ。ただし，重力加速度の大きさを $g$ とし，重力の位置エネルギーの基準点は地面に取るものとする。
地表を原点として鉛直上向きに $x$ 軸を取り，最高点の高さを $h$ とする。物体は加速度 $-g$ の等加速度運動を行うので最高点に達する時刻は $t_1=\bun{v}{g}$ であり，等加速度運動の公式から，
$$h=\bun12gt_1\!^2=\bun{v^2}{2g}$$が成立する。よって，求める位置エネルギーは，
$$U_g=mgh=\bun12mv^2$$
例題の解釈
上の例の意味するところを考えてみましょう。
与えた初速度は $v$ ですが，これは物体に $\Bun12mv^2$ の運動エネルギーを与えたのと同じことです。
物体は鉛直上向きに上昇していきますが，この間に下向きの重力 $mg$ が負の仕事をするので運動エネルギーはどんどん減っていきます。
物体の進行方向と，力の向きが $180\Deg$ をなしているので，仕事は負になりますね。
最高点に達した際には速度が $0$ になるので，物体の運動エネルギーも $0$ になります。
一方で，もともと地面にあった物体は重力の位置エネルギーが $0$ だったわけですが，最高点に達したことによって $mgh$ の位置エネルギーを獲得しています。
言い換えると，「$\Bun12mv^2$ の運動エネルギーを失った代わりに，重力の位置エネルギー $mgh$ を獲得した」ということになります。
運動エネルギーが位置エネルギーに変換されたわけですね。
力学的エネルギー
このように，運動エネルギーと位置エネルギーは互いに変換することが可能です。重力の位置エネルギーを例に説明しましたが，弾性力の位置エネルギーについても同様のことがいえます。
運動エネルギーと位置エネルギーの和のことを力学的エネルギーと呼びます。
物理基礎の範囲では，
$$\text{（力学的エネルギー）}=\text{（運動エネルギー）}+\text{（重力の位置エネルギー）}+\text{（弾性力の位置エネルギー）}$$
と考えてokです。
力学的エネルギー
物体の運動エネルギーと位置エネルギーの和を力学的エネルギーと呼ぶ。物理基礎の学習範囲では，
$$\text{（力学的エネルギー）}=\text{（運動エネルギー）}+\text{（重力の位置エネルギー）}+\text{（弾性力の位置エネルギー）}$$
力学的エネルギー保存則
力学的エネルギー保存則とは
上に見たように，運動エネルギーと位置エネルギーは互いに変換することができ，その合計値は変化せずに保存されます。
この原則のことを力学的エネルギー保存則と呼びます。
力学的エネルギー保存則
物体の運動エネルギーと位置エネルギーの和は保存される。
$$\text{（運動エネルギー）}+\text{（重力の位置エネルギー）}+\text{（弾性力の位置エネルギー）}=\text{（一定）}$$
力学的エネルギー保存則の成立条件
力学的エネルギー保存則には条件が必要です。
鉛直投げ上げ運動のように物体が重力しか受けない場合には重力の位置エネルギーを考えればよいのでokなのですが，粗い面の上で物体が運動するような状況はどうでしょうか。
動摩擦力が物体に仕事をしてしまいますが，動摩擦力は非保存力なので位置エネルギーを考えることができません…！
そうなんです。動摩擦力の仕事の分，物体の運動エネルギーが減ってしまい，摩擦による熱などになって外へ逃げていってしまいます。
このように，非保存力（動摩擦力や垂直抗力，張力など）が仕事をする状況では力学的エネルギー保存則が成立しないので気をつけましょう。
力学的エネルギー保存則が成立する条件
非保存力が仕事をしない。
バネを用いた例
例題
ばね定数 $k$ のばねに質量$m$ の物体がつながれている。ばねを $a$ だけ伸ばした位置からそっと手を離すと，物体は動きはじめた。ばねが自然長となったときの物体の速さ $v$ を求めよ。
物体に作用する力は弾性力，重力，垂直抗力の3つです。
非保存力である垂直抗力が作用しているので，力学的エネルギーが保存しない，という誤解が多いのですが，そうではありません。
確かに垂直抗力は作用していますが，物体の進行方向は左向き，垂直抗力は鉛直上向きですので，互いに直交しています。
よって，物体が運動する際に垂直抗力が物体にする仕事は $0$ になります。
作用はしていますが，仕事はしていないので，物体のエネルギーには影響を及ぼしません。よって，物体の力学的エネルギーは保存されるのです。
このように，非保存力が作用していたとしても仕事をしていなければ力学的エネルギーは保存されるので注意してください。
なお，今回の状況では同様の理由で重力も仕事をしません（重力は保存力ですので，仮にしていたとしても力学的エネルギーは保存されます）。
力学的エネルギーが保存される条件は，「非保存力が仕事をしない」と何度も唱えてしっかりと覚えてください。
物体から手を離すとき，速さは $0$ なので運動エネルギーも $0$ ですが，ばねが $a$ だけ伸びているので弾性力の位置エネルギーは $\Bun12ka^2$ となります。
ばねが自然長になるとき，ばねの伸びは $0$ なので弾性力の位置エネルギーは $0$ になりますが，代わりに速さが $v$ になるので運動エネルギーは $\Bun12mv^2$ です。
以上を踏まえて力学的エネルギー保存則を立式すると，
$$0+\bun12ka^2=\bun12mv^2+0$$となるため，$v>0$ に注意してこれを解くと，
$$v=a\sqrt{\bun{k}{m}}$$として答えが得られます。
非保存力が仕事をする場合のエネルギー収支関係
非保存力が仕事をするときは？
力学的エネルギー保存則が成立する条件は，「非保存力が仕事をしないとき！」と強調しました。
逆にいえば，非保存力が仕事をした場合，物体の持つ力学的エネルギーは変化することになります。
こうした状況では，どのように考えればよいのでしょうか…？
実は，「非保存力がする仕事」と「力学的エネルギーの変化量」は等しくなることが知られています。
たとえば，動摩擦力が物体に $-10$ の仕事をした場合，物体の持つ力学的エネルギーは $10$ だけ減る，ということです。
これを証明しようと思うとより高度な議論が必要となってしまうので，物理基礎の学習においては公式として覚えてしまってokです。
ポイント
非保存力が物体に仕事をした場合，その仕事の分だけ物体の力学的エネルギーが変化する。すなわち，
$$\text{（非保存力のする仕事）}=\text{（力学的エネルギーの変化量）}$$が成立する。
エネルギー保存則の意義
運動方程式で事足りるのでは…？
運動方程式を学習した際に，「運動方程式から加速度を求めて，等加速度運動の公式を使えば問題が解ける！」と説明しました。
ということは，どんな問題でも運動方程式を立てて解いていけばよいはずですよね…？
運動方程式以外の「エネルギー保存則」を考えるのにはやはりそれなりに意味があるのです。
そもそも仕事やエネルギー保存則の公式，概念はすべて運動方程式から導かれるものです。いってしまえば，運動方程式の形を変えたものに過ぎません。
ですから，「運動方程式では解けないけれどエネルギー保存則では解ける」というのはおかしな話なのです。
しかし，運動方程式を解こうとしたら大変だけれど，エネルギー保存則を使えば手早く解ける問題が存在します。
たしかに，運動方程式が解けない状況ってありますね…。
先ほどの例がまさにそれです。ばねにつながれた物体の運動を考えたわけですが，位置 $x$ において物体に作用する弾性力は $f=-kx$ ですので運動方程式は，
$$ma=-kx$$となります。
$x$ によって加速度が変わってしまうので等加速度運動ではないですよね。
この運動は「単振動」と呼ばれる運動で，運動方程式を解こうと思うと大変です（解けなくはないです）。
それだから，より簡単に運動を解析するためにエネルギー保存則を使ったのですね！
このように，運動方程式を解くのが大変な場合にはエネルギー保存則が非常に有用ですし，あるいは運動方程式で解ける等加速度運動の問題であっても，エネルギー保存則を使うことでより簡易的に解けることがあります。
たとえば「高さ $h$ から手を離した物体が地面にぶつかる直前の速さを求めよ」といわれた場合，等加速度運動の公式を使うと，
$$v=gt,\ h=\bun12gt^2$$の2式を連立しなければいけませんが，力学的エネルギー保存則を使ってしまえば，
$$mgh=\bun12mv^2$$という1つのシンプルな式ですぐに答えが出せます。
使い分け
使い分けにはある程度の慣れも必要にはなってきますが，「運動方程式で解けないとき（等加速度運動ではないとき）は力学的エネルギー保存則，運動方程式で解けるとき（等加速度運動）はより楽な方を使う」というのが問題に対する適切なアプローチです。
自然に使い分けられるようになってはきますが，はじめのうちは「この問題，運動方程式で解いたけれど等加速度運動だし，エネルギー保存則でも解けないかな…？」といった視点で考える習慣を付けておくのがおすすめです。
1つの問題でも，さまざまな視点から考えられるようになってくるとより物理の勉強が楽しくなってくるはずです。