仕事

物理基礎の復習

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目次1 仕事とは2 物理学での仕事3 仕事率4 仕事の原理 仕事とは 物理でいうところの「仕事」 「仕事」という言葉は日常生活でよく耳にすると思いますが，物理で扱う「仕事」はまた別の意味を持っています ...

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仕事の再確認

内積を用いた仕事の表現

仕事，エネルギー絡みについては入試でも出題頻度が非常に高く，重要な内容ですので改めて理解を深めておきましょう。

さて，仕事の計算方法は物理基礎で学習した通りです。$W=Fs\cos\theta$ でした。

この形，よくよく見ると何かに見えてきませんか…？

力を $\vec{F}$，物体の変位を $\vec{s}$，$\vec{F}$ と $\vec{s}$ のなす角度を $\theta$ としたとき，$\vec{F}$ と $\vec{s}$ の内積は，

$$\vec{F}\cdot\vec{s}=Fs\cos\theta$$と計算できますよね。

これが仕事と全く同じ形になっているので，$$W=\vec{F}\cdot\vec{s}$$とまとめることができます。

実際の仕事の計算

実際に仕事を計算する際には，$Fs\cos\theta$ を，$s\cdot F\cos\theta$ とみて考えると便利です。

$F\cos\theta$ は，物体の移動方向の力の成分ですので，「移動方向に力がどれだけ物体を引っ張ったか」によって仕事が決まっていることがわかります。

移動する物体に対して，移動方向に力が作用すると，その力は仕事をしたことになるのでした。

特に以下の場合については頻出ですので，速やかに仕事を計算できるようにしておきましょう。

$\theta=0\Deg \text{の場合：}\cos\theta=1$

物体の移動方向と力の向きが一致している状況。$W=Fs$ で計算できる。

$\theta=90\Deg\text{の場合：}\cos\theta=0$

物体の移動方向と垂直な向きに力が作用している状況。$W=0$ となる。

$\theta=180\Deg\text{の場合：}\cos\theta=-1$

物体の移動方向正反対の向きに力が作用している状況。$W=-Fs$ で計算できる。

それぞれの状況を図示して整理すると次の通りです。

力方向の移動距離を考える方法

$Fs\cos\theta$ は，$F\cdot s\cos\theta$ とみることもできます。

$s\cos\theta$ は，力の方向の変位（力の向きにどれだけ進んだか）を表している値です。

よって，

$$W=\text{（力の大きさ）}\times\text{（力の向きに移動した距離）}$$として仕事を計算することもできます。

一般的な仕事の定義

内積での表現の限界

「仕事についてはここまで丁寧に確認したし，もう完璧！」といいたいところなのですが，残念ながら「仕事が得意な受験生」への道のりはまだ遠いのです。

さて，この仕事，計算できますか…？

これまでに学習した仕事の式 $W=Fs\cos\theta$ は，$F$ が一定であり，変位も途中で向きが変わらないときしか使えません。

弾性力はばねの伸び $x$ によって力の大きさが変わってしまうので，$W=Fs\cos\theta$ の式から仕事を計算することはできないのです。

仕事の定義の拡張

そこで，力の大きさが位置によって変わっても計算できるように，仕事の定義を拡張します。

意味としては，「力のした仕事は，その力の，物体が移動している方向成分を位置 $x$ で積分すれば得られる」ということですね。

公式の式を暗記するのではなく，意味をしっかりと確認しておきましょう。

$x_2-x_1$ は物体の変位 $s$ に等しいので，$W=Fs\cos\theta$ というおなじみの形が出てきましたね。

弾性力の仕事の計算

では最初の問題に戻りましょう。拡張した仕事の定義を用いることで，弾性力の仕事も計算することができます。

無事に計算できました！

これでよほどへんてこりんな力でない限り，仕事を計算できるはずです。

面積から考える仕事

数学でよく扱う，横軸が $x$，縦軸が $y$ のグラフは，面積が $S=\int y\dx$ で計算できますよね。

では，$W=\int F\dx$ で表される仕事は，どんなグラフの面積になるでしょう？

$x$ はどちらも共通で，$y$ と $F$ が対応していますね。

つまり，仕事は「横軸が $x$，縦軸が $F$ のグラフの面積」として考えることもできるのです。