放物運動

放物運動

2次元，3次元空間での運動

これまでに扱った自由落下運動，鉛直投げ上げ運動はいずれも一直線上での運動でした。

話が一気にややこしくなりそうですがそんなことは一切なく，$x$ 軸，$y$ 軸，$z$ 軸を正しく設定して，速度や加速度を成分ごとに分解して考えてしまえばokです。

これまでに扱った内容のちょっとした応用，くらいのつもりで考えてください。

重力場での放物運動

重力場の運動としては放物運動を理解しておく必要があります。

こちらは3次元ではなく2次元空間での運動として考えていくことになりますので，$x$ 軸方向，$y$ 軸方向に分解して考えていきます。

なんだか一気に難しくなったなと感じるかもしれませんが，この問題を30秒で解けるようになることがこのセクションの目標です。

まずは初速度について考えますが，この際もやはり成分を分解して考えることになります。

ここは難しく考えずに，水平方向右向きに $x$ 軸を，鉛直方向上向きに $y$ 軸を取ればokです。

初速度を分解して得られる成分ごとの速度は図から，$$(v_x,\,v_y)=(V_0\cos\theta,\ V_0\sin\theta)$$であることがわかります。

加速度は重力加速度を考えればよいわけですが，これは鉛直下向きに $g$ です。成分ごとに表記すると，$$(a_x,\,a_y)=(0,\,-g)$$となります。

ここから先は，それぞれの方向に分けて運動を考えていきましょう。

鉛直方向

$y$ 軸方向では加速度が $-g$ の等加速度運動を行いますが，これは鉛直投げ上げ運動と全く同じですね。

上で考えた通り，初速度は $V_0\sin\theta$ です。

水平方向

水平方向には加速しないので，水平方向の加速度は $0$ になります。

加速度が $0$ ということは，速度が変化しないということですので，水平方向には等速度運動を行うことがわかります。

初速度は $V_0\cos\theta$ ですから，ずっと $v_x=V_0\cos\theta$ のまま進み続けることになります。

あとはそれぞれの方向について数式を使って考えていきましょう。

$y$ 軸方向の運動

「初速度 $V_0\sin\theta$ の鉛直投げ上げ運動」です。

最高点では $v_y=0$ となります。

$V_0\sin\theta$ が1秒に $g$ ずつ減っていくわけですから，最高点に達する時刻は $t_1=\mskip 4mu\bun{V_0\sin\theta}{g}\mskip 5mu$ として求まります。

$v-t$ グラフを扱った際に説明した通り，鉛直投げ上げ運動は対称性がよく，「投げ上げてから最高点に達するまでの時間」と「最高点に達してから地面に落下するまでにかかる時間」が等しくなります。

よって，物体が地面に落下する時刻は $t_2=2t_1$ ですね。

$x$ 軸方向の運動

「速度$V_0\cos\theta$ の等速度運動」です。水平方向には $v_x=V_0\cos\theta$ で進み続けます。

物体が地面に落下するまでの時間 $t_2$ だけこの等速度運動が続くわけですから，水平方向に進む距離は，$$L=V_0\cos\theta\cdot t_2=\mskip 4mu\bun{2V_0\!^2\sin\theta\cos\theta}{g}\mskip 5mu$$として求まります。

以上のように，意味を考えながら立式していけば，複雑な計算をすることなく速やかに答えが求まります。公式を使って解くのも悪くはないですが，慣れてくるとこちらの方法のほうが断然速く解けるようになってきます。

さて，あとはこれをしっかり理解して瞬時に解けるようにしてしまえば放物運動は怖いものなしになります。

以下のようなシンプルな手順で考えられるので，これを30秒以内にできるようにしておきましょう。

放物運動のまとめ

放物運動を図でまとめると下の通りです。

$y$ 軸方向の運動は鉛直投げ上げ運動と同じで，非常に対称性のよい運動でした。

水平方向の運動は等速度運動ですから，これらを組み合わせた放物運動も非常に対称性のよい運動になります。

たとえば，「地面に落下する直前の物体の速さ$V$ を求めよ」という問題があったとしましょう。

このとき，対称性を踏まえると落下する直前の物体の速度は，$$(v_x,\,v_y)=(V_0\cos\theta,\ -V_0\sin\theta)$$であることが瞬時にわかるので，$$V=\sqrt{(V_0\cos\theta)^2+(-V_0\sin\theta)^2}=V_0$$として速やかに答えが得られます。