自由落下運動・鉛直投げ上げ運動

重力加速度

重力加速度とは

当たり前のことですが，空中で物から手を離すと地面に向かって落下していきます。この運動のことを自由落下運動といいます。

この落下運動が実は等加速度運動になることが知られており，その加速度の大きさは $g\fallingdotseq 9.8\mss$ です。向きは地面に向かう，鉛直下向きになります。

この加速度のことを，重力加速度と呼びますが，これは物体が地球から万有引力（重力）を受けているために発生します。詳細は重力について学習する際に説明します。

現実世界のイメージとの乖離

現実世界で羽を落とす場合と，ゴルフボールを落とす場合とでは落下の速度は異なりますよね。

実際の世界では空気抵抗が存在するので，軽くて平らな物体ほどゆっくり落下しますが，物理の問題では空気抵抗を無視することが大半です。

空気抵抗を無視することができれば，どの物体も同じ加速度，同じ速度で自由落下することが知られているので，問題を解く際には物体の種類によらず加速度は一定で鉛直下向きに $g$ であるものとして考えます。

自由落下運動

簡単な例

地表の空間で運動する物体の加速度は，鉛直下向きに $g$ であることを学習しました。

このことを踏まえて，自由落下運動について考えてみましょう。

座標軸の設定

この例題のように，問題を解く際には座標の向き，原点を自分で設定しなければいけないことがよくあります。

物体の初期位置を原点に，初速度と同じ向き（もしくは加速度と同じ向き）に軸の正の向きを定めるとうまくいくことが多いですが，例外もあるのでこのあたりは問題演習を通じて慣れていきましょう。

軸が正しく設定できてしまえば，あとは等加速度運動の公式に代入していくだけです。

今回は，$t=0$ で原点から運動が始まり $(x_0=0\,)$，自由落下で $(v_0=0\,)$，加速度が $g$ である $(a=g\,)$ ことに注意して，

$$v=0+gt,\quad x=0+0\cdot t+\mskip 4mu\bun12gt^2$$と立式すればokです。これをシンプルにかいたものが上の例題の解答になります。

鉛直投げ上げ運動

次は物体を真上に向かって投げ上げた場合の運動（鉛直投げ上げ運動）について考えてみましょう。

自由落下運動と同様，鉛直投げ上げ運動も結局は正しく軸を設定してしまえばあとは公式のオンパレードです。

が，より理解を深めるため，$v-t$ グラフについても考えてみましょう。

上の例で確認した等加速度運動の $v-t$ グラフ，自力でかけますか…？

$v-t$ グラフを使った議論

まずは $v-t$ グラフをかく前に，鉛直上向きに座標を設定しているので，加速度が $-g$ であることに注意してください。

座標の正の向きは鉛直上向き，重力加速度は鉛直下向きなので真逆ですよね。

加速度とグラフの概形

加速度 $-g$ が $v-t$ グラフの傾きになるので，$v-t$ グラフは右肩下がりの直線になることがわかります。

最高点について

上の例でも確認しましたが，最高点では物体の速度が $0$ になります。

このように直線上の運動では，運動の向きが変わる点で速度が $0$ になることを理解しておきましょう。

このことから $v-t$ グラフについて，直線と $t$ 軸が交わる点（$v=0$ となる点！）が運動の最高点を表していることがわかります。

$v$ が負になりはじめたところから落下運動に切り替わるわけです。最高点の高さは，それまでに物体が移動した距離ですから，$v-t$ グラフの面積を求めればよいことになります。

これは図からもわかる通り，ただの直角三角形ですから，$$h=\mskip 4mu\bun12v_0,\ t_1=\mskip 4mu\bun{v_0\!^2}{2g}\mskip 5mu$$として計算できますね。

地面に落下するまでの運動

さて，落下運動に変わってからはどうなるでしょうか。

$v-t$ グラフの面積はグラフ上の負の領域になってくるので面積の値も負として考えることになります。物体の移動距離も負の値です。

ここからも，$x$ 軸正の向きの反対方向に移動していることが確かに確認できるわけです。

では地面に落下するのはどこかというと，合計の移動距離が $0$ になる場所です。つまり，左側の「正の領域の三角形」と，右側の「負の領域の三角形」の面積が等しくなって打ち消し合うところになりますね。

これは2つの三角形が合同になるところですので，$t_2=2t_1$，$v_2=-v_0$ であることが瞬時にわかります。

以上の $v-t$グラフの話からもわかる通り，鉛直投げ上げ運動は非常に対称性のよい運動です。対称性を利用することで，例題の (3) や(4) は瞬時に答えが導けるようになるので，ぜひこの考え方をマスターしておいてください。

公式を使わずに意味を考える

$v-t$ グラフとは異なる考え方ですが，(1) についても慣れてくると瞬時に答えが導けます。解答では公式を利用しましたが，加速度が $-g$ であることの意味を考えてみましょう。

これは「速度が $1$ 秒間に $g$ ずつ減っていく」ことを意味していますよね。

よって (1) の問題は，「初速度が $v_0$ で，これが $1$ 秒間に $g$ ずつ減っていった場合，何秒後に速度は $0$ になりますか？」ということを聞かれているに過ぎないわけです。

という問題と同じなのです。

これが難しいはずがありません。単純に割り算で，瞬時に $t_1=\mskip 4mu\bun{v_0}{g}\mskip 5mu$ が答えだ，というのがわかるようになるはずです。

しつこいようですが，物理ではただただ公式に当てはめて解くだけでなく，問題文や物理量（速度や加速度など）が何を意味しているかを考えながら理解していく姿勢が重要です。