v-tグラフ

$v-t$ グラフと等加速度運動

$v-t$ グラフ

物体の速度の表現の方法について理解してもらえたでしょうか。

実際の物体の運動では，時刻によって速度が変化していくため，これをわかりやすく表現するためにグラフを用います。

横軸に時刻 $t$，縦軸に速度 $v$ を取って速度の変化を表したグラフのことを $v-t$ グラフといいます。

では，この $v-t$ グラフの傾きですが，何を表しているかわかりますか？

突然こう聞かれると悩んでしまうかもしれませんが，下の2つを比較してみてください。

1 は基本的な数学の問題ですね。

$y=f(x)$ のグラフの傾きを問われているわけですから，$f(x)$ を微分した，$$\fp (x)=\mskip 4mu\bun{\dy}{\dx}\mskip 5mu$$が傾きになることはすんなり理解できると思います。

では，2 はいかがでしょうか？

これがまさに今回の $v-t$ グラフについての話ですが，1 と考えることは全く同じです。

グラフの傾きは，$v$ を $t$ で微分した $\Bun{dv}{dt}\mskip 5mu$ になるはずですが，これって先ほど学習した加速度ですよね。

以上から，$v-t$ グラフの傾きは物体の加速度を表すことがわかりました。

これはとてもとても大事なので絶対に覚えてください。

どうしても覚えられなければ1日10回寝る前に「$v-t$ グラフの傾きは加速度」と唱えてから寝るようにしてください。

等加速度運動

では，ここから先は最も簡単な，$v-t$ グラフが右上がりの直線になるものを考えてみましょう。

先ほど述べたように，$v-t$ グラフの傾きは，加速度を表しているのでした。

直線は傾きが常に一定なので，どの時刻でも加速度が一定の運動を表していることになります。このような運動のことを等加速度運動と呼びます。

では具体的に，等加速度運動を行う物体の速度を求めてみましょう。

例題では，$v-t$ グラフをそのまま利用することで物体の速度を求めました。他にも様々な方法があります。

加速度の意味を考えて導く方法

物体の加速度 $a$ は，速度の変化率（単位時間にどれだけ速度が増えるか）を表しています。

等加速度運動では加速度が $a$ で一定なので，単位時間の間に速度が $a$ ずつ増えていきますね。

ということは，$t$ の時間が経過したら速度は $at$ だけ増えるはずです。もともと $t=0$ での速度が $v_0$ だったわけですから，これに増加分 $at$ を足すことで，$$v=v_0+at$$として求まります。

積分で導く方法

加速度の定義を覚えていますか？

加速度は速度の変化率，すなわち $a=\mskip 4mu\bun{\dv}{\dt}\mskip 5mu$ として定義されていたのでした。

速度を微分したら加速度になるのであれば，逆に加速度を積分したら速度になるんじゃないか？と考えるのは自然ですよね。

加速度 $a$（定数）を時間 $t$ で積分するので，$v=at$ になりそうですが，これでは「時刻 $t=0$ のときに $v=v_0$」という初期条件を満たしていません。

そこで，定数を微分すると $0$ になることに注目し，「$t=0$ を代入したときに $v=v_0$」を満たすように，$$v=v_0+at$$としてしまえばよいわけです。

2通りの方法を紹介しました。

微分や積分が得意な人ほど数式でゴリゴリ計算してしまうという方法に走りがちですが，1番目の方法のように物理量の意味を考えて答えを導く方法は非常に有用です。

数学とは異なり，1つ1つの物理量には意味があるので，公式をただの数式として眺めるのではなく，その意味を考えながら理解する癖を付けておくと実戦でも役立つと思います。

$v-t$ グラフの面積

面積を考えるには

時刻 $t_1$ から $t_2$ までの $v-t$ グラフによって囲まれる部分の面積を考えてみましょう。

「$v-t$ グラフの理解だけでも大変なのに，その面積だなんて…」と思いたくなる気持ちはとてもわかります。

いきなり $v-t$ グラフの面積となると大変ですので，まずはみなさんが扱いなれているグラフの面積を考えてみましょう。

$y-x$ グラフの面積

次図の $x_1$ から $x_2$ における $y=f(x)$ のグラフによって囲まれる部分の面積 $S$ だったらどうでしょう。

数学の積分の単元で扱っている基本事項です。これなら難しくないですよね…？

数学でもう慣れていると思いますが，$$S=\int_{x_1}^{x_2}f(x)\dx=\int_{x_1}^{x_2}y\dx$$とすんなり立式できるはずです。

改めて $v-t$ グラフの面積

$v-t$ グラフであっても考え方は全く同じです。

$y$ が $v$ に，$x$ が $t$ に変わるだけなので，時刻 $t_1$ から $t_2$ までの $v-t$ グラフによって囲まれる部分の面積は，$$\int_{t_1}^{t_2}v\dt$$とかけることになります。

$v-t$ グラフの面積の物理的な意味

$v-t$ グラフの面積が何を意味しているかわかりますか…？

日本語で表現すると，「$v$ を $t$ で $t_1$ から $t_2$ まで積分したもの」ということになります。

ここで話を速度の定義に戻しますが，もともと速度 $v$ は物体の位置 $x$ の変化率，すなわち $v=\mskip 4mu\bun{\dx}{\dt}\mskip 5mu$ として定義されていたのでした。

ということは，その逆もいえるはずですから，速度 $v$ を積分することで，物体の移動距離が求まるはずです。

つまり，「$v$ を $t$ で $t_1$ から $t_2$ まで積分したもの」というのは，時刻 $t_1$ から $t_2$ までの間に物体が移動した距離を表していることになります。

以上から，$v-t$ グラフの面積は物体の移動距離を表すことがわかりました。これもとてもとても大事なので絶対に覚えてください。

どうしても覚えられなければこちらも寝る前に呪文のように唱えてから寝るようにしてください。

等加速度運動と $v-t$ グラフのまとめ

ここまでの内容で，等加速度運動の位置と速度の公式が求まりました。$$v=v_0+at,\ x=x_0+v_0t+\mskip 4mu\bun12at^2$$の2式から $t$ を消去すると，$$2a(x-x_0)=v^2-{v_0}^2$$が導かれます。

こちらの式は，「時間$t$ を考えずに位置や速度だけを使って立式したい」という際に有用ですので，公式として覚えておきましょう。

$v-t$ グラフについては，傾きが加速度，面積が移動距離を表すという2点を確実に覚えておきましょう。

それでは最後に，これまでの内容を踏まえて例題を解いてみましょう。