滑車における束縛条件

束縛条件とは

考え方は人それぞれですよね。

一般に，世の中の半数以上の人が「束縛されている」と感じ始める条件のことを束縛条件と呼びます。

…というのは冗談です。

でも一般に「束縛」っていわれたら，まずはその「束縛」を思い浮かべませんか…？

「運動に課される幾何学的制限」のことを束縛条件と呼びます。

こう表現すると難しく聞こえますが，「糸が伸び縮みしない」「物体が床から浮き上がらない」といった条件のことです。

特に，「滑車が絡む問題」「動く台の上を物体が運動する問題」で利用することが多いので，それぞれについて確認していきましょう。

滑車が絡む束縛条件 ①

「糸が伸び縮みしない」という条件を数式で考えます。

定滑車に注目した議論

まずは図のように定滑車に注目します。

糸を介して，右側に物体A，左側に動滑車が繋がれています。

物体Aの加速度が上向きに $\alpha$ であることがわかっていますが，動滑車の加速度はどうなるでしょうか？

たとえば，$\alpha=10$ なのに，動滑車の加速度が下向きに $300$ だったら，明らかに糸がちぎれて（あるいは伸びて）しまいますよね。

糸がちぎれないためには，動滑車の加速度が下向きに $\alpha$ である必要があります。

つまり，糸の両端に繋がれた物体の加速度は，大きさが等しく，互いに逆向きである必要があるのです。このことは感覚的にも明らかでしょう。

動滑車に注目した議論

続いて，動滑車に注目します。

動滑車は下向きに $\alpha$ で加速している状況ですが，$\alpha,\,\beta,\,\gamma$ の間には何らかの制約が必要ですよね。

「動滑車と物体Cはほとんど加速しないのに，物体Bだけ下向きに勢いよく加速している」ということですので，明らかに糸がちぎれてしまっています。

よって，動滑車についても「糸が伸び縮みしない」という制約を考えないといけません。

確かに滑車が動いているので非常にややこしいんです。

でも，滑車さえ動かなければ簡単でしたよね？「糸の両端に繋がれた物体の加速度は，大きさが等しく，互いに逆向きである」として考えることができました。

視点を変えて

そこで，滑車が動かないように，滑車と共に動く視点から考えてみましょう。滑車と共に動くので，滑車は静止して見えます。

一方で，物体B，物体Cについては，滑車に対する相対運動を考えないといけません。

相対運動の加速度は，「（相手）$-$（自分）」で求めることができましたね。今，動滑車と共に動く「自分の視点」の加速度は下向きに $\alpha$ です。

この視点に対する物体B，物体Cの相対加速度はそれぞれ，$\beta-\alpha$，$\gamma-\alpha$ とかくことができます。

ここまでの話から，次のような図をかくことができます。

これで「滑車を止める」ことに成功しましたので，あとは「糸の両端に繋がれた物体の加速度は，大きさが等しく，互いに逆向きである」という条件を数式にすればokです。
$$\gamma-\alpha=-(\beta-\alpha)$$
ですね。よってこれを整理した，
$$2\alpha=\beta+\gamma$$
が求める束縛条件になります！

滑車が絡む束縛条件 ②

別の考え方も紹介しておきます。

手を離してから $\varDelta t$ だけ時間が経過すると，各物体は加速度の向きに $\bun12\times\stext{（加速度）}\times(\varDelta t)^2$ だけ移動します。よって，変位の比は，
$$\Bun12\alpha(\varDelta t)^2:\bun12\beta(\varDelta t)^2:\bun12\gamma(\varDelta t)^2=\alpha:\beta:\gamma$$
です。

加速度の比と等しくなることがわかりますね。このことを利用して束縛条件を導いてみましょう。

糸のたるみを考える

まず，物体B，Cを固定して，物体Aだけを動かして考えます。

物体Aが上向きに移動した距離と同じだけ，動滑車は下向きに移動しますね。すると，動滑車にかかっている糸がたるみます。

動滑車が下向きに下がった距離と同じだけ，「左右それぞれに」たるみが生じることに注意しましょう。

たるみの回収

しかし実際には糸はたるみませんので，物体Bと物体Cを動かしてこのたるみを回収しましょう。

物体Bと物体Cの移動距離は，比を利用して考えればokです。

両側のたるみが回収されるため，図より，

$$2\alpha=\beta+\gamma$$が成り立つことがわかります。

先程と同様の束縛条件を求めることができましたね！