速度の合成と相対速度

相対速度

相対速度の確認

観測者が運動している場合，その観測者から見たときに物体（観測対象）の運動がどのように見えるかを考えることがあります。

物体Aから観測した物体Bの速度のことを「Aに対するBの相対速度」と呼ぶのでしたね。

生徒

「相対運動」といわれたら，とにかく「（相手）$-$（自分）」です。

観測対象から，観測者の速度を引くことで計算します。これより，Aに対するBの相対速度は，
$$\vec{v\SUB{AB}}=\vec{v\SUB{B}}-\vec{v\SUB{A}}$$とかくことができますね。

図形的な考え方

式からもわかる通り，相対速度はベクトル同士の引き算です。

平面上（2次元空間）での相対運動を考える際には，成分同士の引き算で考えてもよいですが，ベクトルの引き算として図形的に処理すると見通しがよくなることが多いです。

速度の合成

簡単な例を通じて

相対速度と非常に勘違いしやすい「速度の合成」について考えてみましょう。

「ひろしくんって誰やねん」というツッコミはさておき。問題自体は難しくないですよね…？

船自体が $1.0\s$ の間に $10\m$ 進むわけですから，船の上で寝っ転がっていてもひろしくんは船と一緒に $10\m$ 進むことができます。

実際には，ひろしくんは歩くことでさらに $2.0\m$ だけ進んでいるわけですから，ひろしくんが $1.0\s$ の間に進む合計の距離は $12\m$。

よって，求める速度は $12\ms$ です。

一般化

この例を一般化して考えます。静止系における船の速度を $\vec{v_1}$，船の上でのひろしくんの速度を $\vec{v_r}$，静止系におけるひろしくんの速度を $\vec{v_2}$ とした場合，

$$\vec{v_2}=\vec{v_1}+\vec{v_r}\text{\quad……\ ☆}$$が成り立つことになります。

この $\vec{v_2}$ を，$\vec{v_1}$ と $\vec{v_r}$ の 合成速度と呼びます。

相対速度と合成速度の関係

$\vec{v_r}$ は「船の上でのひろしくんの速度」でしたが，いい換えると「船に対するひろしくんの速度」になります。

これってつまり相対速度ですよね。

生徒

☆式を変形すると，$\vec{v_r}=\vec{v_2}-\vec{v_1}$ として計算できることがわかります。

船が観測者（自分），ひろしくんが観測対象（相手）であることを踏まえると，

$$\vec{v_r}=\vec{v_2}-\vec{v_1}=\vec{\text{（ひろしくんの速度）}}-\vec{\text{（船の速度）}}$$は，確かに「（相手）$-$（自分）」の形になっていることが確認できます。

それでは，例題で確認してみましょう。

川の速度は $(V,\,0)$，静水上を北側の対岸に向かって進む船の速度は $(0,\,v_1)$，歩く人（観測者）の速度は $(-v_2,\,0)$ です。

これらを利用して，速度の合成，相対速度の考え方を用いていきましょう。

なお，(1) の合成速度はベクトルの足し算，(2) の相対速度はベクトルの引き算になっています。

羽白

それぞれ図示して整理すると次の通りです。