2次元空間での運動

1 物理基礎の復習
2 平面上での運動
3 数式を用いた表現

物理基礎の復習

「速度」の復習はこちら！

: 速度

具体例を用いながら，速度の「ちゃんとした定義」に触れていきます。微分で理解しておくと，その先の学習もスムーズです。

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「加速度」の復習はこちら！

: 加速度

速度と関連させながら，加速度を定義していきます。「位置と速度」「速度と加速度」が同じ関係になることがポイントです！

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「$v-t$ グラフ」の復習はこちら！

: v-tグラフ

運動する物体の速度を視覚的にわかりやすくする $v-t$ グラフを考えていきます。傾き，面積がそれぞれ何を表すかをしっかりと理解しましょう！

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平面上での運動

2次元での物体の運動

物理基礎の範囲では，直線上の等加速度運動を考えることが多かったですね。しかし，物体が平面上で運動を行う場合もあります。

そもそも僕らの生きている世界は4次元ですからね。2次元の世界で生きている人も中にはいるようですが…。

生徒

この場合には，$x$ 軸だけでなく，$y$ 軸も設定して考える必要があります。

$x$ 座標が $x$，$y$ 座標が $y$ であるような物体の位置は $(x,\,y)$ と表されるわけですが，これは「その物体の位置ベクトル」になっています。

よって，物体の位置はベクトル表記で $\vec{r}=(x,\,y)$ のように表されます。

数式を用いた表現

ベクトルを用いた表記

「2次元になると成分が2つも出てくるから大変！」と思うかもしれませんが，基本的には成分ごとに考えてしまえばよいのです。

速度が $\vec{v}=(v_x,\,v_y)$，加速度が $\vec{a}=(a_x,\,a_y)$ と表されるとしましょう。$x$ 軸方向の運動について考えるときは $y$ 方向の運動のことをいったん忘れて，
$$v_x=\bun{\dx}{\dt},\ a_x=\bun{\dv_x}{\dt}=\bun{\d^2x}{\dt^2}$$としましょう。

$y$ 軸方向についても同様に考えればokです。

平面上での運動

成分ごとに考える。位置が $\vec{r}=(x,\,y)$ で表される物体の速度 $\vec{v}=(v_x,\,v_y)$ および加速度 $\vec{a}=(a_x,\,a_y)$ は，
$$\begin{aligned} \vec{v}&=\bun{\d\vec{r}}{\dt}=\left(\bun{\dx}{\dt},\,\bun{\dy}{\dt}\right)\\\vec{a}&=\bun{\d\vec{v}}{\dt}=\bun{\d^2\vec{r}}{\d^2t}\\&=\left(\bun{\dv_x}{\dt},\,\bun{\dv_y}{\dt}\right)=\left(\bun{\d^2x}{\dt^2},\,\bun{\d^2y}{\dt^2}\right) \end{aligned}$$として得られる。