壁との衝突における反発係数

壁・床との衝突における反発係数

物体が壁や床に対して衝突する際にも反発係数を考えることができます。

考え方は2物体の場合とほとんど同じで，

$$e=\Bun{\stext{（衝突後に物体が壁・床から遠ざかる速さ）}}{\stext{（衝突前に物体が壁・床に近づく速さ）}}$$です。

結局，物体の速度は壁・床にぶつかることで逆向きとなり，大きさが $e$ 倍されるので，「速度が $-e$ 倍される」と考えてもokですね

エネルギー保存則より，

$$mgh=\bun12mv_1\!^2\qquad\therefore\quad v_1=\sqrt{2gh}$$

反発係数が $e$ なので，

$$v_1\prime =ev_1=e\sqrt{2gh}$$

はね返った後の小球のエネルギー保存則より，

$$\bun12mv_1\prime \!^2=mgH\qquad\therefore\quad H=e^2h$$

羽白

実は，(2) の結果「はね返った後の最高点の高さが $e^2$ 倍になる」ことは暗算で求められます。

はね返り前のエネルギー保存則

$$mgh=\bun12mv_1\!^2$$と，はね返り後のエネルギー保存則

$$mgH=\Bun12mv_1\prime \!^2$$の右辺を比べてみましょう。

はね返りによって，$v_1$ が $e$ 倍されて $v_1\prime$ になっているので，右辺全体では $e^2$ 倍されているはずですよね。

よって，左辺も $e^2$ 倍になっているはずですので，$H$ は $h$ の $e^2$ 倍になって当然なのです。

羽白

では，そのまま再び小球が地面に落下し，はね返った後の最高点の高さはわかりますか？

上と全く同じことが考えられますので，$e^2\times e^2h=e^4h$ になりますね。

壁・床との斜め衝突における反発係数

斜めに壁にぶつかるとき

壁や床に対して斜めに衝突が起こる状況を考えてみます。

速さ $v$ で運動する物体が，滑らかな床に対して斜めの方向から衝突したとします。

この衝突によって小球の速度は向きが変わりますが，それは「衝突の際に床から垂直抗力を受けたから」です。

この垂直抗力による力積の分，床に垂直な方向の運動量が変化したことになるわけです。

ということは，床に平行な方向については衝突の際に力積を受けないので，速度が変化しません！

この点に注目して，壁や床に垂直な方向と平行な方向に分けて議論をするのがポイントになります。

反発係数は壁や床に垂直な方向のみで考えて，
$$e=\Bun{\stext{（壁から遠ざかる方向の速度成分の大きさ）}}{\stext{（壁に近づく方向の速度成分の大きさ）}}$$と立式します。

簡単な例

たとえば，速さ $v$ で進む小球が床に対して $\theta$ の方向に衝突したとしましょう。

衝突後，速さは $v\prime$ となり，床から $\theta\prime$ の方向に進んだとします。

床に垂直な方向と平行な方向に分けて議論をしてみましょう。

床に平行な方向

衝突の際に力積を受けないので，運動量が変化しない。

よって，速度も変化しないため，

$$v\cos\theta=v\prime \cos\theta\prime$$

床に垂直な方向

床に近づく速度が $v\sin\theta$，床から遠ざかる速度が $v\prime \sin\theta\prime$ なので，反発係数について，

$$e=\Bun{v\prime \sin\theta\prime }{v\sin\theta}$$

分けてしまえば簡単ですね！

生徒

具体的な数値を用いた例題を解いてみましょう。

例題

滑らかな床に対して，床面から $60\Deg$ の方向から速さ $4.0$ の小球が衝突した。衝突後，小球は床面から $30\Deg$ の方向に運動した。以下の問いに答えよ。

衝突後の小球の速さ $v\prime$ を求めよ。

衝突の床の間の反発係数を求めよ。

床に平行な方向の速度成分は変化しない。

衝突前の床に平行な方向の速度成分は，$4.0\cos60\Deg=2.0$ であることに注意すると，衝突前後の速度は次図の通り。

よって，$v\prime =\bun{4\sqrt3}{3}$

床に垂直な方向の速度成分の大きさの比を考えて，

$$e=\bun{\bun{2\sqrt3}{3}}{2\sqrt3}=\bun13$$

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