衝突についてもう少し
2物体の衝突
「衝突・分裂・合体を見たら運動量保存則を立てる！」という定石は身につきましたか…？
今回はこの「衝突」についてもう少し詳しく見ていきます。
2物体が正面衝突する状況を考えてみます。
衝突ですから，いずれにしても運動量保存則は成り立つのですが，2物体がどちらも粘土の場合と，どちらも金属球の場合とで，衝突後の様子は変わりそうですよね。
粘土同士の衝突であれば，くっついてほとんど動かなくなるかもしれません。
一方，金属球同士の衝突であれば，勢いよく互いに遠ざかっていくかもしれませんね。
いずれにしても，同じ速度同士で衝突しても，物体の材質によって衝突後の様子が変わることは容易に想像がつくでしょう。
反発係数
そこで，衝突の様子を表す値として，反発係数（あるいははね返り係数）を導入します。
反発係数 は，
$$e=\mskip 4mu\bun{\stext{\hspace{-.5em}（衝突後に相対的に遠ざかる速さ）}}{\stext{\hspace{-.5em}（衝突前に相対的に近づく速さ）}}$$で定義されます。
教科書には小難しい数式もかいてあると思いますが，まずはこの式を言葉で覚えてください。
$e=\mskip 4mu\bun{\stext{\hspace{-.5em}（遠ざかる速さ）}}{\stext{\hspace{-.5em}（近づく速さ）}}$ です。
簡単な例
以下の具体例で実際に式を立ててみましょう。
具体的な計算
以下の衝突におけるはね返り係数はいくつ？
衝突前の状況
わざとらしく $v_1$ の速度の矢印が $v_2$ の速度の矢印よりも長くかいてあります。
でもこれって当たり前じゃないですか？
$v_2>v_1$ だったら，そもそも衝突できないですよね…？
$v_2$ の速度で逃げる小球2を，$v_1$ の速度の小球1が追いかけているイメージです。
差がどんどん縮まっていくのですが，近づく速さは $v_1-v_2$ です。
衝突後の状況
衝突後は小球の距離が遠ざかっていくので，$v_2\prime >v_1\prime $ になります。
仮に $v_1\prime >v_2\prime $ であれば，また衝突してしまいます。
それはさすがに怪奇現象。
ということで，速度$v_1\prime $ で追いかけてくる小球1から，$v_2\prime $ の小球2が逃げていくイメージになりますね。
遠ざかる速さは $v_2\prime -v_1\prime $ です。
反発係数の計算
以上から，「衝突前に相対的に近づく速さ」と「衝突後に相対的に遠ざかる速さ」が求まりました。
反発係数は，
$$e=\mskip 4mu\bun{v_2\prime -v_1\prime }{v_1-v_2}\mskip 5mu$$ですね。
反発係数
2物体の衝突における反発係数は，
$$e=\mskip 4mu\bun{\stext{\hspace{-.5em}（衝突後に相対的に遠ざかる速さ）}}{\stext{\hspace{-.5em}（衝突前に相対的に近づく速さ）}}$$で定義される。
例題
以下の衝突における，反発係数 を求めよ。また，小球1の質量を $3.0\kg$ としたとき，小球2の質量を求めよ。
考え方
今回のように問題文に図があるときはそれを利用すればよいのですが，問題に図がないときは必ず（簡易的にでよいので）自分で衝突前後の図をかく習慣を付けましょう。
衝突前に相対的に近づく速さは $8.0+2.0=10.0$，衝突後に相対的に遠ざかる速さは $4.0-1.0=3.0$ なので，求める反発係数 は，
$$e=\mskip 4mu\bun{3.0}{10.0}\mskip 5mu=0.30$$
小球2の質量を $m\kg$ とする。運動量保存則より，
$$3.0\times8.0+m\times(-2.0)=3.0\times1.0+m\times4.0\qquad\therefore\quad m=3.5\kg$$
反発係数の値によらず，運動量保存則は成立する点に気をつけてください…！
衝突とエネルギー
反発係数の値
反発係数 の値は，$0\leqq e\leqq 1$ を満たします。
反発係数の値が $1$ を超えないのは感覚的に理解できますか…？
互いに近づく速さが $1$ でゆっくりゆっくり「コツン」と衝突した2物体が，互いに遠ざかる速さが $100$ で勢いよく遠ざかっていったらびっくりですよね。
そのエネルギーはどこから湧いてきたんだ，という話になってしまいます。
「衝突後に2物体が相対的に遠ざかる速さ」が「衝突前に2物体が相対的に近づく速さ」を上回ることはありません。
よって，$e$ の定義式は必ず $\stext{\hspace{-.5em}（分母）}>\stext{\hspace{-.5em}（分子）}$ となるため，$0\leqq e\leqq1$ となるのです。
特殊な場合
なかでも，$e=1$ の場合と $e=0$ の場合は少し特殊ですので，それぞれ個別に確認しておきましょう。
反発係数が 1 の状況
$e=1$ ですので，
$$\stext{\hspace{-.5em}（衝突前に相対的に近づく速さ）}=\stext{\hspace{-.5em}（衝突後に相対的に遠ざかる速さ）}$$が成り立ちます。
この状況が，最も勢いよくはね返る状況であり，（完全）弾性衝突と呼ばれます。
金属球同士の「カチン！」といった衝突のイメージです。
この弾性衝突では，衝突の前後で力学的エネルギーが保存されることが知られています。
反発係数が 0 の状況
$e=0$ ですので，
$$\stext{\hspace{-.5em}（衝突後に相対的に遠ざかる速さ）}=0$$です。
つまり，「遠ざからない」ということですから，2物体ははね返らずに合体します。
この衝突を完全非弾性衝突と呼びます。
粘土同士の「ぺちょ」という衝突のイメージです。
この完全非弾性衝突では，衝突の前後で力学的エネルギーが最も多く失われることが知られています。
失われたエネルギーは，熱の発生や物体の変形に利用されます。
反発係数とエネルギー変化
$e=1$：（完全）弾性衝突。力学的エネルギーが保存される。
$0<e<1$：力学的エネルギーが減少する。
$e=0$：完全非弾性衝突。力学的エネルギーが最も大きく減少する。
具体例での確認
反発係数と力学的エネルギーの関係について，実際の問題でも確認しておきましょう。
例題
速度 $v_0$ で運動する質量 $m$ の小球1が，静止している質量 $M$ の小球2に衝突した。衝突における反発係数 を $e$ として，以下の設問に答えよ。
衝突後における，各小球の速度 $v,\,V$ を求めよ。
衝突によって失われた運動エネルギーを求めよ。
(1) の解き方
まずは図をかいて衝突の状況を整理しましょう。
衝突前に近づく速さは $v_0$ ですね。
衝突後は $V>v$ であることに注意すると，遠ざかる速さは $V-v$ です。
よって，反発係数 について，
$$e=\mskip 4mu\bun{v_0}{V-v}\mskip 5mu$$と立式できます。
運動量保存則より，
$$mv_0=mv+MV$$が成立するので，これらを連立して解くことで，
$$v=\mskip 4mu\bun{m-eM}{m+M}\mskip 5muv_0,\ V=\mskip 4mu\bun{(1+e)m}{m+M}\mskip 5muv_0\stext{\quad……\ ①}$$であることがわかります。
(2) の解き方
続いて (2) のエネルギーについて確認しましょう。
求めるのは「失われた運動エネルギー」ですから，「（前）$-$（後）」の計算です。
よって，
$$\Bun12mv_0!^2-\left(\bun12mv^2+\mskip 4mu\bun12MV^2\right)$$を計算すればよいですね。
（そこそこ大変ですが，）これを計算すると，
$$K_{\stext{減}}=\mskip 4mu\bun{1-e^2}{2}\mskip 5mu\cdot\mskip 6mu\bun{mM}{m+M}\mskip 5muv_0\!^2\stext{\quad……\ ②}$$として答えが得られます。
補足
2点ほど追加で確認しておきます。
まず，① についてです。2つの小球の質量が等しく（$m=M$），衝突が弾性衝突であった場合（$e=1$），
$$v=0,\,V=v_0$$となります。
もともと小球1の速度が $v_0$，小球2の速度が $0$ でしたから，速度交換が起こっていますね。
このように，質量が等しい2つの物体が弾性衝突すると速度交換が起こることが知られています。
速度交換
質量の等しい2物体が弾性衝突すると，速度交換が起こる。
続いて ②式についてです。
この運動エネルギーの減少量 $K_{\stext{減}}$ は，$e$ についての減少関数となっています。
よって，$e$ が大きければ大きいほど，失われる運動エネルギーが小さいことがわかりますね。
$e=1$ のときに $K_{\stext{減}}=0$ で最小値（つまり衝突によって運動エネルギーは失われず，力学的エネルギーが保存される），$e=1$ のときに $\Bun{mMv_0\!^2}{2(m+M)}\mskip 5mu$ で最大値となります。
