2物体の衝突と反発係数

衝突についてもう少し

2物体の衝突

「衝突・分裂・合体を見たら運動量保存則を立てる！」という定石は身につきましたか…？

2物体が正面衝突する状況を考えてみます。

衝突ですから，いずれにしても運動量保存則は成り立つのですが，2物体がどちらも粘土の場合と，どちらも金属球の場合とで，衝突後の様子は変わりそうですよね。

粘土同士の衝突であれば，くっついてほとんど動かなくなるかもしれません。

一方，金属球同士の衝突であれば，勢いよく互いに遠ざかっていくかもしれませんね。

反発係数

そこで，衝突の様子を表す値として，反発係数（あるいははね返り係数）を導入します。

反発係数 は，

$$e=\Bun{\stext{（衝突後に相対的に遠ざかる速さ）}}{\stext{（衝突前に相対的に近づく速さ）}}$$で定義されます。

教科書には小難しい数式もかいてあると思いますが，まずはこの式を言葉で覚えてください。

$e=\Bun{\stext{（遠ざかる速さ）}}{\stext{（近づく速さ）}}$ です。

簡単な例

以下の具体例で実際に式を立ててみましょう。

衝突前の状況

でもこれって当たり前じゃないですか？

$v_2>v_1$ だったら，そもそも衝突できないですよね…？

$v_2$ の速度で逃げる小球2を，$v_1$ の速度の小球1が追いかけているイメージです。

差がどんどん縮まっていくのですが，近づく速さは $v_1-v_2$ です。

衝突後の状況

衝突後は小球の距離が遠ざかっていくので，$v_2\prime >v_1\prime$ になります。

仮に $v_1\prime >v_2\prime$ であれば，また衝突してしまいます。

ということで，速度$v_1\prime$ で追いかけてくる小球1から，$v_2\prime$ の小球2が逃げていくイメージになりますね。

遠ざかる速さは $v_2\prime -v_1\prime$ です。

反発係数の計算

以上から，「衝突前に相対的に近づく速さ」と「衝突後に相対的に遠ざかる速さ」が求まりました。

反発係数は，
$$e=\bun{v_2\prime -v_1\prime }{v_1-v_2}$$ですね。

考え方

今回のように問題文に図があるときはそれを利用すればよいのですが，問題に図がないときは必ず（簡易的にでよいので）自分で衝突前後の図をかく習慣を付けましょう。

衝突とエネルギー

反発係数の値

反発係数 の値は，$0\leqq e\leqq 1$ を満たします。

互いに近づく速さが $1$ でゆっくりゆっくり「コツン」と衝突した2物体が，互いに遠ざかる速さが $100$ で勢いよく遠ざかっていったらびっくりですよね。

「衝突後に2物体が相対的に遠ざかる速さ」が「衝突前に2物体が相対的に近づく速さ」を上回ることはありません。

よって，$e$ の定義式は必ず $\stext{（分母）}>\stext{（分子）}$ となるため，$0\leqq e\leqq1$ となるのです。

特殊な場合

なかでも，$e=1$ の場合と $e=0$ の場合は少し特殊ですので，それぞれ個別に確認しておきましょう。

反発係数が 1 の状況

$e=1$ ですので，

$$\stext{（衝突前に相対的に近づく速さ）}=\stext{（衝突後に相対的に遠ざかる速さ）}$$が成り立ちます。

この状況が，最も勢いよくはね返る状況であり，（完全）弾性衝突と呼ばれます。

この弾性衝突では，衝突の前後で力学的エネルギーが保存されることが知られています。

反発係数が 0 の状況

$e=0$ ですので，

$$\stext{（衝突後に相対的に遠ざかる速さ）}=0$$です。

つまり，「遠ざからない」ということですから，2物体ははね返らずに合体します。

この衝突を完全非弾性衝突と呼びます。

この完全非弾性衝突では，衝突の前後で力学的エネルギーが最も多く失われることが知られています。

失われたエネルギーは，熱の発生や物体の変形に利用されます。

具体例での確認

反発係数と力学的エネルギーの関係について，実際の問題でも確認しておきましょう。

(1) の解き方

まずは図をかいて衝突の状況を整理しましょう。

衝突前に近づく速さは $v_0$ ですね。

衝突後は $V>v$ であることに注意すると，遠ざかる速さは $V-v$ です。

よって，反発係数 について，

$$e=\Bun{v_0}{V-v}$$と立式できます。

運動量保存則より，

$$mv_0=mv+MV$$が成立するので，これらを連立して解くことで，

$$v=\bun{m-eM}{m+M}v_0,\ V=\Bun{(1+e)m}{m+M}v_0\stext{\quad……\ ①}$$であることがわかります。

(2) の解き方

続いて (2) のエネルギーについて確認しましょう。

求めるのは「失われた運動エネルギー」ですから，「（前）$-$（後）」の計算です。

よって，

$$\Bun12mv_0!^2-\left(\bun12mv^2+\bun12MV^2\right)$$を計算すればよいですね。

（そこそこ大変ですが，）これを計算すると，

$$K_{\stext{減}}=\Bun{1-e^2}{2}\cdot\bun{mM}{m+M}v_0\!^2\stext{\quad……\ ②}$$として答えが得られます。

補足

まず，① についてです。2つの小球の質量が等しく（$m=M$），衝突が弾性衝突であった場合（$e=1$），

$$v=0,\,V=v_0$$となります。

もともと小球1の速度が $v_0$，小球2の速度が $0$ でしたから，速度交換が起こっていますね。

このように，質量が等しい2つの物体が弾性衝突すると速度交換が起こることが知られています。

続いて ②式についてです。

この運動エネルギーの減少量 $K_{\stext{減}}$ は，$e$ についての減少関数となっています。

よって，$e$ が大きければ大きいほど，失われる運動エネルギーが小さいことがわかりますね。

$e=1$ のときに $K_{\stext{減}}=0$ で最小値（つまり衝突によって運動エネルギーは失われず，力学的エネルギーが保存される），$e=1$ のときに $\Bun{mMv_0\!^2}{2(m+M)}$ で最大値となります。