円運動 ①

円運動の基本

等速円運動

物理基礎と合わせると，力学の学習内容もだいぶ増えてきました。

では，「円運動」について考えてみましょう。

まずは簡単のために，円周上を等しい速さで運動している物体について見ていきます。

このような，等しい速さでの円運動のことを等速円運動と呼びます。

角速度

円周上を運動する物体の位置を表現するために，図のような状況を考えます。

物体は点$\rmP$ から半径 $r$ の円運動を開始し，時刻 $t$ に点$\rmQ$ に到達するものとしましょう。

点$\rmQ$ の位置を表現するためには，$\rmO\rmP$ から測った $\rmO\rmQ$ の角度が必要になりますね。この角度を $\theta$ と置きます。

この際，$\rmP\rmQ$ 間の円弧の長さ $l$ が，$l=r\theta$ となることも確認しておきましょう。

物体は等速円運動をしているので，単位時間あたりに進む角度が一定になるはずです。

この「単位時間あたりに進む角度」を角速度と呼び，$\omega$ で表すことにします。

単位は $\punit{rad/s}$ ですね。単位時間あたりに $\omega$ ずつ角度が進むので，時刻 $t$ までに進む角度は $\omega t$ になるはず。

ということは，$\theta=\omega t$ とかくことができます。

等速円運動における速度

速さ

まずはじめに，物体の速さについて考えてみます。

$\varDelta t$ 秒の間に物体は円弧を描きながら $l$ だけ進んでいますので，速さは $v=\Bun{l}{\varDelta t}$ と表せますね。

$l=r\theta$ および $\theta=\omega\varDelta t$ をこれに代入することで，$v=r\omega$ であることがわかります。

速度の向き

続いて，速度の向きについて考えてみましょう。

物体は $\rmP$ から $\rmQ$ へ移動したので，位置の変化は $\vec{\rmP\rmQ}$ で表すことができます。

速度は位置の変化率ですから，経過時間 $\varDelta t$ を十分短くして考えます。

$\varDelta t\to0$ とすると，$\theta\to0$ となりますので，$\rmQ$ は $\rmP$ へと限りなく近づいていきます。

このとき，$\vec{\rmP\rmQ}$ の向きは図のように変化することになります。

$\rmQ$ が $\rmP$ にほぼ一致するまで近づけたとき，$\vec{\rmP\rmQ}$ の向きは $\rmP$ における円の接線方向となることがわかりました。

よって，物体の点$\rmP$ における速度の向きは，円の接線方向になります！

もちろん前を向いて走るわけですが，それって常にトラックの接線方向になっていますよね。

つまり，「等速円運動の速度は円の接線方向」って，考えてみれば当たり前のことなのです。

等速円運動の加速度

円運動の加速度

等速円運動の速度は円の接線方向を向きますが，物体の位置によってこの「接線方向」も向きが変わります。

図の $\rmP$点と $\rmQ$点を比べてみると明らかですね。一方で，速さは $v=r\omega$ で変わりませんので，速度ベクトルの大きさは同じです。

速度が変化するため，物体は加速していることになります。図を用いて，加速度を求めてみましょう。

加速度の導出

考え方は速度を求めた際と似ています。

加速度は速度の変化率ですから，速度の変化に注目します。

$\rmP$ と $\rmQ$ を比較したとき，速度の変化は速度ベクトルの引き算で求められます。「（後）$-$（前）」ですね。

そこで，$\rmP$ での速度 $\vec{v\SUB{P}}$ と $\rmQ$ での速度 $\vec{v\SUB{Q}}$ の引き算を考えるために，始点をそろえた図をかきます。

この速度ベクトルの終点を結んでできるベクトル

$$\vec{v\SUB{Q}}-\vec{v\SUB{P}}$$が，速度変化 $\varDelta \vec{v}$ を表します。

加速度は速度の変化率なので，この $\varDelta \vec{v}$ を経過時間 $\varDelta t$ で割った $\Bun{\varDelta \vec{v}}{\varDelta t}$ を考えます。

これは，$\varDelta \vec{v}$ を定数で割っただけのものですので，$\varDelta \vec{v}$ と同じ向きのベクトルになりますね。

このベクトルをかき加えたものが上図です。

ここからさらに，$\varDelta t\to0$ の状況を考えます。

$\varDelta t\to0$ のとき，$\theta$ も $0$ に近づきますので，$\vec{v\SUB{Q}}$ の終点は $\vec{v\SUB{P}}$ の終点に近づいていきます。

これを図示すると，次の通りになります。

$\Bun{\varDelta \vec{v}}{\varDelta t}$ の向きが $\vec{\rmP\rmO}$ の向きへと変化していることがわかりますね。

ここで考えていた，「$\Bun{\varDelta \vec{v}}{\varDelta t}$ の $\varDelta t$ を $\varDelta t\to0$ としたもの」は，$\vec{v}$ の変化率を表しているため，加速度 $\vec{a}$ そのものになります。

数式でかくと，
$$\vec{a}=\lim_{\varDelta t\to0}\Bun{\varDelta \vec{v}}{\varDelta t}=\bun{\d\vec{v}}{\dt}$$です。

以上から，$\rmP$ における物体の加速度の向きが，$\vec{PO}$ の向きに等しいことがわかりました。

つまり，$\rmP$ における円運動の加速度の向きは円の中心に向かう向きとなります。

加速度の大きさ

速度の変化 $\varDelta \vec{v}$ の大きさを $\varDelta v$ とすると，

$$a=\lim_{\varDelta t\to0}\Bun{\varDelta v}{\varDelta t}$$ですので，$\varDelta v$ について考えていきます。

図のように，$\varDelta \vec{v}$ の変化に注目しましょう。

$\theta\to0$ において，$\vec{v\SUB{Q}}$ の終点は円弧を描きながら $\vec{v\SUB{P}}$ の終点に近づいていくことがわかりますね。

このとき，$\varDelta \vec{v}$ は円弧 $\rmP\rmQ$ に近づいていきますので，その大きさ $\varDelta v$ は $v\theta$ へと近づいていきます。

よって，$\varDelta t\to0$ において，$\varDelta v\to v\theta$ であることがわかります。

ここで，

$$v=r\omega,\ \theta=\omega\varDelta t$$ですので，$v\theta=r\omega^2\varDelta t$ です。

以上から，

$$a=\lim_{\varDelta t\to0}\Bun{\varDelta v}{\varDelta t}=r\omega^2$$として加速度の大きさ $a$ を求めることができます。

$v=r\omega$ の式を使うことで，

$$a=r\omega^2=\bun{v^2}{r}$$と2通りの表現が得られますね。