力学 物理

円運動 ①

羽白 いむ

東京大学医学部医学科卒 現役医師
東大指導専門塾鉄緑会 物理・数学科元講師
物理基礎のトリセツ著者
数学のトリセツ共著者

円運動の基本

等速円運動

物理基礎と合わせると,力学の学習内容もだいぶ増えてきました。

羽白

そろそろこんな考えが浮かぶのではないでしょうか…?

ポイント

そういえば。あれだけ「力学は運動方程式がすべて!」なんて言っていたくせに,まだ等加速度運動でしか運動方程式なんて使っていないじゃん。

羽白先生って本当は嘘つき…?

そろそろ高級な壺でも買わされるのかな…?

羽白

安心してください!(古い)

ようやく今回のセクションで,運動方程式が大活躍します!

生徒

では,「円運動」について考えてみましょう。

まずは簡単のために,円周上を等しい速さで運動している物体について見ていきます。

このような,等しい速さでの円運動のことを等速円運動と呼びます。

角速度

円周上を運動する物体の位置を表現するために,図のような状況を考えます。

物体は点P\rmP から半径 rr の円運動を開始し,時刻 tt に点Q\rmQ に到達するものとしましょう。

Q\rmQ の位置を表現するためには,OP\rmO\rmP から測った OQ\rmO\rmQ の角度が必要になりますね。この角度を θ\theta と置きます。

この際,PQ\rmP\rmQ 間の円弧の長さ ll が,l=rθl=r\theta となることも確認しておきましょう。

物体は等速円運動をしているので,単位時間あたりに進む角度が一定になるはずです。

この「単位時間あたりに進む角度」を角速度と呼び,ω\omega で表すことにします。

単位は  [rad/s]\punit{rad/s} ですね。単位時間あたりに ω\omega ずつ角度が進むので,時刻 tt までに進む角度は ωt\omega t になるはず。

ということは,θ=ωt\theta=\omega t とかくことができます。

等速円運動における速度

速さ

まずはじめに,物体の速さについて考えてみます。

Δt\varDelta t 秒の間に物体は円弧を描きながら ll だけ進んでいますので,速さは v=lΔt  v=\mskip 4mu\bun{l}{\varDelta t}\mskip 5mu と表せますね。

l=rθl=r\theta および θ=ωΔt\theta=\omega\varDelta t をこれに代入することで,v=rωv=r\omega であることがわかります。

速度の向き

続いて,速度の向きについて考えてみましょう。

物体は P\rmP から Q\rmQ へ移動したので,位置の変化は PQ\vec{\rmP\rmQ} で表すことができます。

速度は位置の変化率ですから,経過時間 Δt\varDelta t を十分短くして考えます。

Δt0\varDelta t\to0 とすると,θ0\theta\to0 となりますので,Q\rmQP\rmP へと限りなく近づいていきます。

このとき,PQ\vec{\rmP\rmQ} の向きは図のように変化することになります。

Q\rmQP\rmP にほぼ一致するまで近づけたとき,PQ\vec{\rmP\rmQ} の向きは P\rmP における円の接線方向となることがわかりました。

よって,物体の点P\rmP における速度の向きは,円の接線方向になります!

等速円運動の速度

角速度 ω\omega で半径 rr の円周上を等速円運動する物体の速度は,大きさが v=rωv=r\omega であり,円の接線方向を向く。

羽白

ところで皆さん,リレーなどでトラックを走るとき,どこを向いて走りますか…?

もちろん前を向いて走るわけですが,それって常にトラックの接線方向になっていますよね。

つまり,「等速円運動の速度は円の接線方向」って,考えてみれば当たり前のことなのです。

等速円運動の加速度

円運動の加速度

等速円運動の速度は円の接線方向を向きますが,物体の位置によってこの「接線方向」も向きが変わります。

図の P\rmP点と Q\rmQ点を比べてみると明らかですね。一方で,速さは v=rωv=r\omega で変わりませんので,速度ベクトルの大きさは同じです。

速度が変化するため,物体は加速していることになります。図を用いて,加速度を求めてみましょう。

加速度の導出

考え方は速度を求めた際と似ています。

加速度は速度の変化率ですから,速度の変化に注目します。

P\rmPQ\rmQ を比較したとき,速度の変化は速度ベクトルの引き算で求められます。「(後)-(前)」ですね。

そこで,P\rmP での速度 vP\vec{v\SUB{P}}Q\rmQ での速度 vQ\vec{v\SUB{Q}} の引き算を考えるために,始点をそろえた図をかきます。

この速度ベクトルの終点を結んでできるベクトル

vQvP\vec{v\SUB{Q}}-\vec{v\SUB{P}}が,速度変化 Δv\varDelta \vec{v} を表します。

加速度は速度の変化率なので,この Δv\varDelta \vec{v} を経過時間 Δt\varDelta t で割った ΔvΔt\Bun{\varDelta \vec{v}}{\varDelta t} を考えます。

これは,Δv\varDelta \vec{v} を定数で割っただけのものですので,Δv\varDelta \vec{v} と同じ向きのベクトルになりますね。

このベクトルをかき加えたものが上図です。

ここからさらに,Δt0\varDelta t\to0 の状況を考えます。

Δt0\varDelta t\to0 のとき,θ\theta00 に近づきますので,vQ\vec{v\SUB{Q}} の終点は vP\vec{v\SUB{P}} の終点に近づいていきます。

これを図示すると,次の通りになります。

ΔvΔt\Bun{\varDelta \vec{v}}{\varDelta t} の向きが PO\vec{\rmP\rmO} の向きへと変化していることがわかりますね。

ここで考えていた,「ΔvΔt\Bun{\varDelta \vec{v}}{\varDelta t}Δt\varDelta tΔt0\varDelta t\to0 としたもの」は,v\vec{v} の変化率を表しているため,加速度 a\vec{a} そのものになります。

数式でかくと,
a=limΔt0ΔvΔt=dvdt\vec{a}=\lim_{\varDelta t\to0}\mskip 6mu\bun{\varDelta \vec{v}}{\varDelta t}=\mskip 4mu\bun{\d\vec{v}}{\dt}です。

以上から,P\rmP における物体の加速度の向きが,PO\vec{PO} の向きに等しいことがわかりました。

つまり,P\rmP における円運動の加速度の向きは円の中心に向かう向きとなります。

加速度の大きさ

羽白

次に,加速度の大きさ aa を求めてみましょう。

速度の変化 Δv\varDelta \vec{v} の大きさを Δv\varDelta v とすると,

a=limΔt0ΔvΔt  a=\lim_{\varDelta t\to0}\mskip 6mu\bun{\varDelta v}{\varDelta t}\mskip 5muですので,Δv\varDelta v について考えていきます。

図のように,Δv\varDelta \vec{v} の変化に注目しましょう。

θ0\theta\to0 において,vQ\vec{v\SUB{Q}} の終点は円弧を描きながら vP\vec{v\SUB{P}} の終点に近づいていくことがわかりますね。

このとき,Δv\varDelta \vec{v} は円弧 PQ\rmP\rmQ に近づいていきますので,その大きさ Δv\varDelta vvθv\theta へと近づいていきます。

よって,Δt0\varDelta t\to0 において,Δvvθ\varDelta v\to v\theta であることがわかります。

ここで,

v=rω, θ=ωΔtv=r\omega,\ \theta=\omega\varDelta tですので,vθ=rω2Δtv\theta=r\omega^2\varDelta t です。

以上から,

a=limΔt0ΔvΔt  =rω2a=\lim_{\varDelta t\to0}\mskip 6mu\bun{\varDelta v}{\varDelta t}\mskip 5mu=r\omega^2として加速度の大きさ aa を求めることができます。

v=rωv=r\omega の式を使うことで,

a=rω2=v2r  a=r\omega^2=\mskip 4mu\bun{v^2}{r}\mskip 5muと2通りの表現が得られますね。

等速円運動の加速度

角速度 ω\omega で半径 rr の円周上を,速さ vv で等速円運動する物体の加速度は,大きさが,

a=rω2=v2r  a=r\omega^2=\mskip 4mu\bun{v^2}{r}\mskip 5muであり,円の中心方向を向く。

-力学, 物理

S