円運動 ②

速度と加速度のシンプルな求め方

微分を用いた方法

ここまで読み進めて，「円運動は速度と加速度を求めるだけでこんなに大変なのかもう無理」と思っていることでしょう。

しかし，この方法は数Ⅲで学習する三角関数の微分や，合成関数の微分の知識が必要になります。

これらの内容が理解できている人は，円運動についてもこちらの方法で理解しておくとスッキリするはず。

考え方は至ってシンプルで，「物体の位置 $\vec{r}$ を決めてしまって，それを $t$ で微分することで $\vec{v}$，$\vec{a}$ を求めていく」というものです。

速度と加速度の定義式である，

$$\vec{v}=\bun{\d\vec{r}}{\dt},\ \vec{a}=\bun{\d\vec{v}}{\dt}=\bun{\d^2\vec{r}}{\dt^2}$$を利用します。

まずは物体の位置の設定です。時刻 $t=0$ に $\theta=0$ であったものとすると，時刻$t$ における物体の位置は，

$$\vec{r}=(r\cos\omega t,\,r\sin\omega t)$$とかくことができます。

速度について

速度 $\vec{v}$ はこれの微分ですが，成分ごとに微分すればokです。

合成関数の微分となることに注意すると，

$$\begin{aligned}\vec{v}&=\bun{\d\vec{r}}{\dt}\\&=(-r\omega\sin\omega t,\,r\omega\cos\omega t)\\&=r\omega(-\sin\omega t,\,\cos\omega t)\end{aligned}$$となりますね。

$(-\sin\omega t,\,\cos\omega t)$ の向きと $\vec{v}$ の向きは 図の通り等しくなります。

これより，速度が円の接線方向となることが確認できます。

また，$(-\sin\omega t)^2+\cos^2\omega t=1$ が成り立つため，

$$\vec{v}=r\omega(-\sin\omega t,\,\cos\omega t)$$で表される速度の大きさが $r\omega$ となることも確認できます。

加速度について

$\vec{v}$ をもう一度 $t$ で微分するだけですので，

$$\vec{a}=\bun{\d\vec{v}}{\dt}=-r\omega^2(\cos\omega t,\,\sin\omega t)$$となりますね。

もともと $\vec{r}=r(\cos\omega t,\,\sin\omega t)$ ですので，$\vec{a}=-\omega^2\vec{r}$ とまとめることができます。

これは「$\vec{r}$ の大きさを $\omega^2$ 倍して向きを反対にしたベクトル」を表していますので，加速度の大きさが $r\omega^2$ であり，向きが円の中心向きとなることが瞬時に確認できます。

微分が使えるとこんなにもシンプルになるのです！

周期，回転数

周期

物体が円軌道を1周するのにかかる時間を周期と呼びます。単位は $\punit{s}$ で，$T$ の文字を使って表されることが多いです。

円周の長さが $2\pi r$ であり，そこを速さ $v$ の物体が運動するわけですから，$T=\bun{2\pi r}{v}$ であることはすぐにわかりますね。

単位時間あたりに進む角度が角速度 $\omega$ でしたね。

物体が円を1周するためには，$2\pi$ の角度を進まないといけません。

単位時間に $\omega$ だけ進むわけですから，1周するのにかかる時間は $T=\bun{2\pi}{\omega}$ と求められます。

$T=\Bun{2\pi r}{v}$ の $v$ に，$v=r\omega$ を代入することでも，同じ値が求まります。

回転数

1周するのに $0.5\s$ かかったとすると，$1\s$ の間に $2$ 回転できます。

1周するのに $2\s$ かかるのであれば，$1\s$ の間には $0.5$ 回転しかできません。

これらの具体例から，回転数 $f$ は，周期 $T$ の逆数 $\Bun{1}{T}$ であることがわかります。

この $f=\bun{1}{T}$ という式は，波動で学習する周期 $T$ と振動数 $f$ の関係と同じですね。

回転数の単位も波動の振動数 $f$ と同じく，$\punit{Hz}$ です。

運動方程式

向心力と運動方程式

等速円運動する物体の加速度は，円の中心向きでした。

運動方程式 $m\vec{a}=\vec{f}$ を踏まえると，「物体の加速度の向き」と「物体が受ける力の向き」は同じですので，等速円運動する物体は円の中心に向かう向きに力を受ける必要があります。

この「円の中心向きの力」のことを，向心力と呼びます。

中心向きに作用している力のことを「向心力」と呼んでいるだけです。

たとえば円錐振り子では，張力の水平方向成分が向心力となります。

実際の立式

上の円錐振り子について，向心方向の運動方程式を立てると，

$$mr\omega^2=T\sin\theta$$となります。

加速度は $r\omega^2$ と $\Bun{v^2}{r}$ のうち，状況によって使いやすい方を使用します。

円運動の問題では，この向心方向の運動方程式が非常に重要です。「円運動を見たら向心方向の運動方程式を立てる！」という習慣をしっかりと身に付けておきましょう。