非等速円運動

非等速円運動

非等速円運動とは

ここまでは等速円運動について考えてきましたが，速さが変化する円運動もあります。

左側の端点へと物体を持ち上げて，手を離した場合を考えてみましょう。

手を離した直後は速さ $0$ です。最下点（位置エネルギー最小！）になると，運動エネルギーが最大となるため速さも最大となります。

そのまま反対側の端点に達しますが，折り返し地点ですので再び速さが $0$ になります。

この往復運動を繰り返しますが，振り子運動の軌跡は円の一部ですので，やはり「円運動」になるのです。

このように，円軌道（の一部）を描くものの，速さが変化する運動を非等速円運動と呼びます。

解析手順

アプローチ

この非等速円運動についても，等速円運動と同様に「向心方向の運動方程式」を立式します。

変化する速さは「エネルギー保存則」から考えることになりますので，非等速円運動ではこの2式を連立するのが定石です。

とにかく非等速円運動を見たらこの2式です。

例題を用いて，考え方，解き方を確認しておきましょう。

見るからに非等速円運動の話をしていますので，「向心方向の運動方程式とエネルギー保存則だ！」と強く意識してください。

(1)について

間違っても，鉛直方向の力のつり合いの式を立てないでください！

小球はすでに円運動をはじめていますので，向心方向の運動方程式を立式します。

求める垂直抗力の大きさを $N_0$ とすると，力の作用図は上の通りです。

向心方向の運動方程式より，

$$m\mskip 6mu\bun{v_0\!^2}{r}\mskip 5mu=N_0-mg$$と立式できます。これを整理することで，

$$N_0=m\mskip 6mu\bun{v_0\!^2}{r}\mskip 5mu+mg$$として答えが得られます。

(2)について

点$\rmQ$での小球の速さを $v$，求める垂直抗力の大きさを $N$ とします。

このとき，力の作用図は上の通りですが，この時点で力を「向心方向」と「接線方向」に分解して考えておくとわかりやすいでしょう。

向心方向の運動方程式から，

$$m\mskip 6mu\bun{v^2}{r}\mskip 5mu=N-mg\cos\theta\stext{\quad……\ ①}$$と立式できます。

最下点との高さの差は，$r(1-\cos\theta)$ ですので，エネルギー保存則より，

$$\bun12mv_0\!^2=\mskip 4mu\bun12mv^2+mgr(1-\cos\theta)\stext{\quad……\ ②}$$が成り立ちます。

①，② を連立することで，

$$N=m\mskip 6mu\bun{v_0\!^2}{r}\mskip 5mu-mg(2-3\cos\theta)$$として答えが得られます。

答えの確認

式変形に自信が持てなければ，$\theta=0$ を代入しましょう！

$\theta=0$ で小球の位置は点$\rmP$ですので，(1) と全く同じ値になるはずです。

実際，$\theta=0$ を $N$ に代入すると確かに，

$$N=m\mskip 6mu\bun{v_0\!^2}{r}\mskip 5mu+mg=N_0$$となりますね。

(3)について

「壁から離れない」という条件を考える問題です。

「離れる・離れないを考える問題」ですね。復習になりますが，確認しておきましょう。

壁から離れないものとして $\theta$ の位置で円運動を考えたのが (2) でした。

(2) で求めた $N$ が $0\leqq\theta\leqq\pi$ の範囲で $N>0$ を満たしていれば小球は壁から離れずに点$\rmQ$にたどり着けることがわかりますね。

$$N=m\mskip 6mu\bun{v_0\!^2}{r}\mskip 5mu-mg(2-3\cos\theta)$$は，$\theta$ について単調減少し，$\theta=\pi$ で最小値をとります。

よって，$N$ は点$\rmQ$で最小となり，その最小値$N_{\rmQ}$は，

$$N_{\rmQ}=m\mskip 6mu\bun{v_0\!^2}{r}\mskip 5mu-5mg$$です。

$N_{\rmQ}>0$ であれば，$0\leqq\theta\leqq\pi$ の範囲で常に $N>0$ であることがいえますので，求める条件は $N_{\rmQ}>0$ です！

これを $v_0$ について整理すると，

$$v_0>\sqrt{5gr}$$として答えが得られます。