単振動の概要

心構え

羽白

力学の山場といわれることが多い「単振動」について勉強していきましょう。

初学の段階では難しく感じる人が多いはずです。一方で，一度理解してしまえば難しい問題もスムーズに解けるようになることが多いのが特徴です。

物理が苦手な人に「力学で一番むずかしい単元は？」と聞くと，「単振動」と答える人が多いです。

しかし不思議なことに，物理が得意な人に「力学で一番簡単な単元は？」と聞くと，「単振動」と答える人が多いのです。

問題の解き方が理解できてしまえば，同じ流れでさくさく解き進めていけるはず！「単振動って簡単！」と思えれば，周囲に大きく差を付けられますので頑張りましょう！

単振動とは

結論！

先に結論をいいます！単振動とは，等速円運動の「影」です！

等速円運動している物体に光を当てると，壁に物体の影が現れ，往復運動を行います。この往復運動が単振動です。

このことを踏まえて，単振動する物体の位置 $x$ を時刻 $t$ の関数として表してみましょう。

半径が $A$，角速度が $\omega$ であるような等速円運動を行う物体の影について考えます。

図のように，等速円運動している物体の位置ベクトルの影を考えることで，単振動する物体の位置がわかりますね。

時刻 $t$ において，$x=A\sin\omega t$ となります。

横軸に時刻 $t$，縦軸に位置 $x$ を取ったグラフは，$x=A\sin\omega t$ をそのままグラフにしたものになるので，上図のようになりますね。

$y=\sin x$ と同じ形をしていますので，このグラフの形を「$+\sin$型」と呼ぶことにします。

時刻 $t=0$ では $x=0$ ですが，時刻が進むことで「$x=0$」→「$x=A$」→「$x=0$」→「$x=-A$」→「$x=0$」といった往復運動を行うことが確認できます。

$x=0$ の位置は振動中心，$x=\pm A$ の位置は振動の端点と呼ばれます。また，振動中心から端点までの距離（つまり $A$）を振幅と呼びます。

スタートの位置から考えるパターン

一方で，$x=A$ から単振動がスタートする状況も考えられます。この場合，元の円運動も上の位置からスタートします。

位置ベクトルの影は長さが $A\cos\omega t$ となりますので，単振動する物体の位置 $x$ は，$x=A\cos\omega t$ ですね。

グラフの形は $y=\cos x$ と同じになりますので，これを「$+\cos$型」と呼ぶことにします。

ここまでくると予想が付きませんか…？「$-\sin$型」と「$-\cos$型」もありそうですよね。

「$-\sin$型」は，$x=0$ の位置から下に向かって円運動を始める場合，「$-\cos$型」は，下の位置から円運動がスタートする場合に対応します。

単振動として考えたときの位置はそれぞれ，$x=-A\sin\omega t$，$x=-A\cos\omega t$ ですので，グラフの概形はそれぞれ次の通りです。

羽白

基本的にはこの4パターンが考えられるようになればokです！

一般的な単振動

上の4つのどれでもない中途半端な場所（三角関数の中身，つまり位相が $\varphi$ の位置）から単振動がスタートする場合は，$x=A\sin(\omega t+\varphi)$ とかくことができます。

また，ここまでは $x=0$ が振動の中心であることを前提としましたが，そうではない場合もあります。

$x=x_0$ が振動の中心となる場合，物体の位置は $x=x_0+A\sin(\omega t+\varphi)$ とかくことができます。この形が最も一般的な形になります。

等速円運動との比較

同じ点と異なる点を明確に

単振動は等速円運動の影ですので，1往復するのにかかる時間は円運動の周期と同じはずです。よって，単振動の周期 $T$ は，$T=\Bun{2\pi}{\omega}$ で計算できます。

ところで，円運動の角速度 $\omega$ を利用して考えてきましたが，単振動ではこの $\omega$ を角振動数と呼びます。

表しているものは円運動の角速度と同じで，「単位時間あたりに位相がどれだけ進むか」です。単位も角速度と同じで $\punit{rad/s}$ です。

円運動では「単位時間に何周するか」という回転数を考えましたね。単振動では，「単位時間に何往復するか」という値に対応します。

この値を振動数と呼びます。単位は$\punit{Hz}$です。波動と同じですね。周期 $T$ と振動数 $f$ の間には，$f=\Bun{1}{T}$ の関係が成り立ちます。