力学 物理

単振動の概要

羽白 いむ

東京大学医学部医学科卒 現役医師
東大指導専門塾鉄緑会 物理・数学科元講師
物理基礎のトリセツ著者
数学のトリセツ共著者

心構え

羽白

力学の山場といわれることが多い「単振動」について勉強していきましょう。

初学の段階では難しく感じる人が多いはずです。一方で,一度理解してしまえば難しい問題もスムーズに解けるようになることが多いのが特徴です。

物理が苦手な人に「力学で一番むずかしい単元は?」と聞くと,「単振動」と答える人が多いです。

しかし不思議なことに,物理が得意な人に「力学で一番簡単な単元は?」と聞くと,「単振動」と答える人が多いのです。

問題の解き方が理解できてしまえば,同じ流れでさくさく解き進めていけるはず!「単振動って簡単!」と思えれば,周囲に大きく差を付けられますので頑張りましょう!

単振動とは

結論!

先に結論をいいます!単振動とは,等速円運動の「影」です!

等速円運動している物体に光を当てると,壁に物体の影が現れ,往復運動を行います。この往復運動が単振動です。

このことを踏まえて,単振動する物体の位置 xx を時刻 tt の関数として表してみましょう。

半径が AA,角速度が ω\omega であるような等速円運動を行う物体の影について考えます。

図のように,等速円運動している物体の位置ベクトルの影を考えることで,単振動する物体の位置がわかりますね。

時刻 tt において,x=Asinωtx=A\sin\omega t となります。

「影を考える」というのは,位置ベクトルの正射影を考えている,ということ。

横軸に時刻 tt,縦軸に位置 xx を取ったグラフは,x=Asinωtx=A\sin\omega t をそのままグラフにしたものになるので,上図のようになりますね。

y=sinxy=\sin x と同じ形をしていますので,このグラフの形を+sin+\sin型」と呼ぶことにします。

時刻 t=0t=0 では x=0x=0 ですが,時刻が進むことで「x=0x=0」→「x=Ax=A」→「x=0x=0」→「x=Ax=-A」→「x=0x=0」といった往復運動を行うことが確認できます。

x=0x=0 の位置は振動中心x=±Ax=\pm A の位置は振動の端点と呼ばれます。また,振動中心から端点までの距離(つまり AA)を振幅と呼びます。

スタートの位置から考えるパターン

一方で,x=Ax=A から単振動がスタートする状況も考えられます。この場合,元の円運動も上の位置からスタートします。

位置ベクトルの影は長さが AcosωtA\cos\omega t となりますので,単振動する物体の位置 xx は,x=Acosωtx=A\cos\omega t ですね。

グラフの形は y=cosxy=\cos x と同じになりますので,これを+cos+\cos型」と呼ぶことにします。

ここまでくると予想が付きませんか…?sin-\sin」とcos-\cos型」もありそうですよね。

sin-\sin型」は,x=0x=0 の位置から下に向かって円運動を始める場合,「cos-\cos型」は,下の位置から円運動がスタートする場合に対応します。

単振動として考えたときの位置はそれぞれ,x=Asinωtx=-A\sin\omega tx=Acosωtx=-A\cos\omega t ですので,グラフの概形はそれぞれ次の通りです。

羽白

基本的にはこの4パターンが考えられるようになればokです!

一般的な単振動

上の4つのどれでもない中途半端な場所(三角関数の中身,つまり位相φ\varphi の位置)から単振動がスタートする場合は,x=Asin(ωt+φ)x=A\sin(\omega t+\varphi) とかくことができます。

+cos+\cos型の単振動は φ=π2\varphi=\Bun{\pi}{2}sin-\sin型の単振動は φ=π\varphi=\picos-\cos型の単振動は φ=32π\varphi=\Bun{3}{2}\pi と考えられる。

また,ここまでは x=0x=0 が振動の中心であることを前提としましたが,そうではない場合もあります。

x=x0x=x_0 が振動の中心となる場合,物体の位置は x=x0+Asin(ωt+φ)x=x_0+A\sin(\omega t+\varphi) とかくことができます。この形が最も一般的な形になります。

単振動

等速円運動の影が行う運動を単振動と呼ぶ。振動中心が x0x_0,振幅が AA,角振動数が ω\omega,初期位相(t=0t=0 での位相)が φ\varphi である単振動の,時刻 tt における位置 xx は,

x=x0+Asin(ωt+φ)x=x_0+A\sin(\omega t+\varphi)の形で表される。問題を解く際には,4つの「型」を元に考える。

等速円運動との比較

同じ点と異なる点を明確に

単振動は等速円運動の影ですので,1往復するのにかかる時間は円運動の周期と同じはずです。よって,単振動の周期 TT は,T=2πωT=\Bun{2\pi}{\omega} で計算できます。

ところで,円運動の角速度 ω\omega を利用して考えてきましたが,単振動ではこの ω\omega角振動数と呼びます。

表しているものは円運動の角速度と同じで,「単位時間あたりに位相がどれだけ進むか」です。単位も角速度と同じで  [rad/s]\punit{rad/s} です。

円運動では「単位時間に何周するか」という回転数を考えましたね。単振動では,「単位時間に何往復するか」という値に対応します。

この値を振動数と呼びます。単位は [Hz]\punit{Hz}です。波動と同じですね。周期 TT と振動数 ff の間には,f=1Tf=\Bun{1}{T} の関係が成り立ちます。

単振動の周期と振動数

単振動の周期 TT は,角振動数 ω\omega を用いて,T=2πωT=\Bun{2\pi}{\omega} で表される。

振動数 ff との間には,f=1Tf=\Bun{1}{T} の関係が成り立つ。

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