単振動における速度と加速度

単振動の速度

円運動から速度を考える

等速円運動の影として単振動の位置を考えたのと同様に，速度についても円運動の影として考えることができます。

以下では簡単のため，$x=A\sin\omega t$ で表される単振動について考えていきます。

羽白

まずは円運動の復習から！

半径 $r$，角速度 $\omega$ で等速円運動する物体の速さは $r\omega$ でしたね。向きは円の接線方向です。

今回は半径が $A$ の円運動を考えるので，速さは $A\omega$ になります。この速度を図示して，光を当ててみましょう。

上図のように，「速度ベクトルの影」が出てきますね。これが単振動する物体の速度です。

図から，$v=A\omega\cos\omega t$ であることがわかりますね。

速さの最大，最小

この速度の大きさ $|v|=A\omega|\cos\omega t|$ は，$\cos\omega t=\pm1$ のときに大きさが $A\omega$ で最大となります。

$\cos\omega t=\pm1$ となるのは，$\sin\omega t=0$ の場所ですので，$x=0$ すなわち振動中心です。

一方，$\cos\omega t=0$ すなわち $\sin\omega t=\pm1$ となる端点では，速度が $0$ になりますね。折り返し地点ですのでこれは当たり前！

円運動の加速度

円運動から加速度を考える

加速度も同様に，円運動の速度の影として考えることができます。

生徒

等速円運動の加速度は，大きさが $A\omega^2$ で，円の中心方向を向いていましたね。これを図示して光を当てます。

速度ベクトルの場合と同様に，「加速度ベクトルの影」が出てきます。

この影の長さは $A\omega^2\sin\omega t$ ですが，負の向きを向いているため，$a=-A\omega^2\sin\omega t$ となることに注意しましょう。

$x=A\sin\omega t$ ですので，これを用いて書き換えると，$a=-\omega^2x$ であることがわかります。

一般的な単振動

単振動する物体の位置が $x=x_0+A\sin(\omega t+\varphi)$ で表される，より一般的な場合ではどうでしょう？

$x-x_0=A\sin(\omega t+\varphi)$ と書き換えるとわかりやすいです。$x-x_0$ は，振動中心$x_0$ からの変位を表しています。

つまり，これまでの話の原点 $\rmO$ が振動中心 $x_0$ に変わった，と考えてしまえばokです。$\omega t$ として考えていた位相も，そっくりそのまま $\omega t+\varphi$ に置き換えて考えましょう。

結局，$x\to x-x_0$，$\omega t\to\omega t+\varphi$ と置き換えればすべて解決です。

すると，

$$\begin{aligned}v&=A\omega\cos(\omega t+\varphi)\\ a&=-A\omega^2\sin(\omega t+\varphi)=-\omega^2(x-x_0) \end{aligned}$$として，速度 $v$ と加速度 $a$ が得られます。

この $a=-\omega^2(x-x_0)$ という形が後ほど大活躍します。

微分を用いた議論

円運動を元に

そもそも「等速円運動する物体に光を当てて影を見る」というのは，「等速円運動する物体の $y$ 方向の運動だけをとり出して見ている」のと全く同じです。

等速円運動する物体の位置，速度，加速度を成分表示すると次の通りでした。

$$\begin{aligned} \vec{r}&=(r\cos\omega t,\,r\sin\omega t)\\ \vec{v}&=(-r\omega\sin\omega t,\,r\omega\cos\omega t)\\ \vec{a}&=(-r\omega^2\cos\omega t,\,-r\omega^2\sin\omega t) \end{aligned}$$

この $y$ 成分だけをとり出して，$y\to x$，$r\to A$ と書き換えることで，

$$x=A\sin\omega t,\,v=A\omega\cos\omega t,\,a=-A\omega^2\sin\omega t$$であることがすぐにわかります。

羽白

「これまでの話は一体何だったんだ！」というくらい簡単ですね…。

また，一般の単振動では，物体の位置は $x=x_0+A\sin(\omega t+\varphi)$ と表されるのでした。

$t$ で微分することで，

$$\begin{aligned} v&=\mskip 4mu\bun{\dx}{\dt}\mskip 5mu=A\omega\cos(\omega t+\varphi)\\ a&=\mskip 4mu\bun{\dv}{\dt}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{\d^2x}{\dt^2}\mskip 5mu=-A\omega^2\sin(\omega t+\varphi) \end{aligned}$$であることがすぐにわかりますね。

$x-x_0=A\sin(\omega t+\varphi)$ を代入することで，$a=-\omega^2(x-x_0)$ の関係式もすぐに導出できます。

羽白

微分を使った議論，どうですか…？シンプルで美しくないですか…？

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