ボーアの理論

ボーアの理論

条件の追加

ボーアは，ラザフォードモデルに2つの条件を付け加えることで難点を解決しました。

全く新しいモデルを考えたわけではなく，より厳しい条件を追加したわけです。

量子条件

$n$ は 量子数 と呼ばれる自然数です。

左辺の $2\pi r$ は電子の円軌道の円周の長さを表していますね。

一方，右辺の $\lambda$ は電子の物質波としての波長であり，$\lambda=\mskip 4mu\bun{h}{mv}\mskip 5mu$ です。この波長整数個分というのが右辺です。

つまり量子条件は，「電子の円軌道に，波長がピッタリ整数個分おさまる」ということを意味しています。

$n=10$ のときの状況を図に示しました。このように，円軌道にちょうど波長が 10 個分おさまっていますね。

このような量子条件が満たされた状態を 定常状態 と呼びます。また，このときに電子が持つ位置エネルギー $E_n$ は エネルギー準位 と呼ばれています。

振動数条件

続いて，2つ目の振動数条件です。

エネルギーが高い状態から低い状態へ変化したときは，その差に相当するエネルギーを持つ光子が放出されます。

逆に，差に等しいエネルギーを持つ光子を吸収することで，電子はよりエネルギーが高い状態へと移ることもできます。

量子条件を踏まえて

さらなる考察

量子数 $n$ に対応する電子の円運動の半径を $r_n$，速さを $v_n$ とします。

量子条件 $2\pi r_n=n\lambda$ と，物質波の波長の式 $\lambda=\mskip 4mu\bun{h}{mv_n}\mskip 5mu$ から，

$$v_n=\mskip 4mu\bun{nh}{2\pi mr_n}\mskip 5mu$$

が得られます。

これを運動方程式（①式）に代入して整理することで，

$$r_n=\mskip 4mu\bun{h^2}{4\pi^2kme^2}\mskip 5mu\cdot n^2$$

が導かれます。

さらにこれをエネルギーの式（②式）に代入して整理することで，

$$E_n=-\mskip 6mu\bun{2\pi^2k^2me^4}{h^2}\mskip 5mu\cdot\mskip 6mu\bun{1}{n^2}\mskip 5mu\stext{\quad……\ ③}$$

が得られます。

これらの計算結果から，$r_n$ も $E_n$ も，$n$ の値に対応する特定の値のみを取ることがわかりますね！

エネルギー準位について

$E_n$ の式中の $\Bun{2\pi^2k^2me^4}{h^2}\mskip 5mu$ は定数ですので，$E_n=-\mskip 6mu\bun{a}{n^2}\mskip 5mu$ の形になっています。

これより，$E_n$ のグラフは次図の通りです。ただし，$n$ は自然数ですので，飛び飛びの値しか取らないことに気をつけてください。

$E_n$ は必ず負の値になること，$n$ が大きくなればなるほどエネルギー準位の差が小さくなることが確認できます。

$n=1$ のときは電子のエネルギーが最も小さく，最も安定した状態です。この状態を基底状態と呼びます。

それ以外の $n=2,\,3,\,\ldots$ の状態の電子は励起状態と呼ばれます。

覚える必要はなし！

だいぶややこしい計算や値が出てきましたが，値を覚える必要はありません！

しかし，イチから自分で説明できるようにしておくことは非常に重要です。

運動方程式やエネルギーの話，ボーアの理論を含めて，$r_n,\,E_n$ の計算までスムーズに説明できるように何度も手を動かして練習しておきましょう！

振動数条件を踏まえて

放出される光子

振動数条件の式 $E_n-E_n\prime =h\nu$ を踏まえて，放出される光子について考えてみましょう。

$\nu=\mskip 4mu\bun{c}{\lambda}\mskip 5mu$ および ③式から，

$$\bun{1}{\lambda}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{2\pi^2k^2me^4}{ch^3}\mskip 5mu\left(\bun{1}{n\prime ^2}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{1}{n^2}\mskip 5mu\right)$$

が得られます。

$\Bun{2\pi^2k^2me^4}{ch^3}\mskip 5mu$ は定数ですので，$n$ と $n\prime $ の値から決まる特定の波長を持つ光のみが放出されることが確認できます！

水素原子における具体的な話

エネルギー準位の計算

水素原子の $n=1$ の状況について，いくつか補足をしておきます。

まず，$n=1$ のときの原子の半径 $r_1$ は，ボーア半径と呼ばれています。

また，$E_1$ の値を具体的に計算すると，

$$E_1=-\mskip 6mu\bun{2\pi^2k^2me^4}{h^2}\mskip 5mu=-13.6\punit{eV}$$

という値が得られます。

$\punit{eV}$ は電子ボルト（エレクトロンボルト）と呼ばれるエネルギーの単位です。

$1\punit{eV}$ は，電気量が $e\C$ の粒子を $1\V$ の加速電圧で加速させたときに得るエネルギーを表します。これより，

$$1\punit{eV}=e\punit{C}\cdot1\punit{V}\fallingdotseq1.60\times10^{-19}\J$$

であることがわかります。

エネルギーの単位なので，$\J$ を用いても良いのですが，原子物理で考えるエネルギーは非常に小さな値なので $\punit{eV}$ の単位が便利です。

あまりにも大きすぎる数を数えるのに，$6.0\times10^{23}$ 個をひとまとまりとしてアボガドロ定数を考えたのと同様に，あまりにも小さすぎるので $1.60\times10^{-19}\J$ をひとまとまりとして考える，というようなイメージを持っておくとわかりやすいかと思います。

この結果を用いると，$E_n=-\mskip 6mu\bun{2\pi^2k^2me^4}{h^2}\mskip 5mu\cdot\mskip 6mu\bun{1}{n^2}\mskip 5mu$ ですので，

$$E_n=-\mskip 6mu\bun{13.6}{n^2}\mskip 5mu\punit{eV}$$

であることがわかりますね。

イオン化エネルギー

電子をはるか遠方まで取り去る状況について考えてみましょう。

$r_n\to\infty$ にするということですので，$n$ もはるかに大きくなります。このときに必要となるエネルギーは，

$$E_{\infty}-E_1\fallingdotseq 13.6\punit{eV}$$

と計算できます。

このエネルギーは，イオン化エネルギーと呼ばれています。