面積

定積分と面積

面積の求め方

区間 $a\leqq x\leqq b$ で，常に $f(x)\geqq0$ であるとします。

このとき，

$$y=f(x),\ \stext{$x$ 軸},\ x=a,\ x=b$$で囲まれた斜線部の図形の面積を $S$ とすると，

$$S=\int_a^bf(x)\dx\stext{\quad……\ ①}$$となることが知られています。

この定積分の計算を用いれば，私たちがこれまで学習した２次関数や３次関数などの曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積も求められるようになります。

２曲線で囲まれた図形の面積

２曲線の場合

さらに複雑な状況を考えていきましょう。

区間 $a\leqq x\leqq b$ で，常に $f(x)\geqq g(x)$ であるとします。このとき，

$$y=f(x),\ y=g(x),\ x=a,\ x=b$$で囲まれた斜線部の図形の面積を $S$ とすると，

$$S=\int_a^b{f(x)-g(x)}\dx\stext{\quad……\ ②}$$と表すことができます。

$x$ 軸は $y=0$ という直線ですので，② において $g(x)=0$ とすれば，① が直ちに得られます。

符号付き面積

符号の扱い

定積分が面積を表していることはこれまでの例で触れてきましたが，正確には「符号付き面積」を表しています。

放物線 $y=x^2-2x$ と $x$軸で囲まれた図形の面積を考えてみましょう。

まずこれを，

$$S=\int_0^2(x^2-2x)\dx$$として計算してみます。

$$\begin{aligned} \int_0^2(x^2-2x)\dx&=\left[\bun{x^3}{3}\mskip 5mu-x^2\right]_0^2\\ &=\left(\bun{2^3}{3}\mskip 5mu-2^2\right)-\left(\bun{0^3}{3}\mskip 5mu-0^2\right)\\ &=-\mskip 6mu\bun43 \end{aligned}$$となり，負の値が出てきてしまいました。

定積分で面積を求める場合，「2曲線で囲まれた図形の面積」の ②式のように，「グラフの上下」に気をつける必要があります。この問題の場合は，$x$ 軸（$y=0$）が上，$y=x^2-2x$ が下になっています。

②式で $f(x)=0$，$g(x)=x^2-2x$ とすれば，

$$S=\int_0^2{0-(x^2-2x)}\dx=\mskip 4mu\bun43$$となり，面積がちゃんと正の値で求められました。

$a\leqq x\leqq b$ の範囲で，$f(x)\leqq0$ となるとき，$y=f(x)$ のグラフは $x$ 軸の下にあります。$x$ 軸と$y=f(x)$ のグラフで囲まれた部分の面積 $S$ は，

$$S=\int_a^b{-f(x)}\dx$$として求めることになります。

まとめ

このように，単に $\displaystyle\int_a^bf(x)\dx$ を計算した場合，これは「曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸，および2直線 $x=a$，$x=b$ で囲まれた符号付き面積」と考えることができます。

「符号付き」というのは，囲まれた図形が $x$ 軸の上側にある場合は正の値，$x$ 軸の下側にある場合は負の値として面積が表されるということです。定積分は「符号付き面積を表す」ということを理解しておきましょう。

定積分の性質

性質の確認

定積分の計算について，以下の性質が成り立ちます。

証明

関数 $f(x)$ の不定積分を $F(x)$ とする。

① の性質

$\displaystyle\int_a^af(x)\dx$ について，計算すると，

$$\int_a^af(x)\dx=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^a=F(a)-F(a)=0$$

② の性質

両辺それぞれについて，

$$\begin{aligned} &\int_a^bf(x)\dx=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b=F(b)-F(a)\\& \int_b^af(x)\dx=\Bigl[F(x)\Bigr]_b^a=F(a)-F(b) \end{aligned}$$となる。したがって，

$$\int_a^bf(x)\dx=-\int_b^af(x)\dx$$

③ の性質

左辺について，

$$\begin{aligned} \int_a^cf(x)\dx+\int_c^bf(x)\dx&=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^c+\Bigl[F(x)\Bigr]_c^b\\ &=F(c)-F(a)+F(b)-F(c)\\ &=F(b)-F(a) \end{aligned}$$

また，

$$\int_a^bf(x)\dx=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b=F(b)-F(a)$$が成立する。

以上から，

$$\int_a^cf(x)\dx+\int_c^bf(x)\dx=\int_a^bf(x)\dx$$