合成関数

合成関数

合成関数とは

羽白

いきなり合成関数の話が始まりますが，数Ⅲの微分を学ぶにあたって必須の内容です！物理でも使用する考え方ですので，しっかりと理解しましょう！

一般に，2つの関数 $y=f(x)$，$z=g(y)$ があり，$f(x)$ の値域が $g(y)$ の定義域に含まれているとき，$g(y)$ に $y=f(x)$ を代入すると，新しい関数 $z=g(f(x))$ が得られます。

この関数を $f(x)$ と $g(x)$ の合成関数といいます。合成関数は $(g\circ f)(x)$ とかくこともあります。

合成関数のイメージ

羽白

図を用いて合成関数のイメージを確認していきます。

$y=f(x)$ という関数は「$x$ の値を $y$ の値に変換する装置 $f$」のようなものと考えてみます。$(g\circ f)(x)$ は，$f$ という装置で変換した値を $g$ という装置でさらに変換するようなイメージなわけです。

注意が必要なのは，$(g\circ f)(x)$ という関数は，$x$ という値をまずは $f$ で変換し，そして $g$ で変換するという順番です。これもイメージですが，右から順に操作しているわけです。

このことからもわかるように，$(g\circ f)(x)$ と $(f\circ g)(x)$ は操作の順番が変わりますから，同じものではありません。

一般的に，$(g\circ f)(x)\ne(f\circ g)(x)$ が成り立ちます。

同じになることもあります。

生徒

たとえば，$f(x)=2x+1$，$g(x)=x^2$ とするとき，

$$\begin{aligned} (g\circ f)(x)&=g(f(x))=(2x+1)^2=4x^2+4x+1\\ (f\circ g)(x)&=f(g(x))=2x^2+1 \end{aligned}$$のようになり，全く違う関数になります。

合成関数を扱う際には，この順序を意識しましょう。