微分係数と導関数

関数の極限

まずは言葉の確認

関数 $f(x)=2x^2$ において，$x$ が $1$ と異なる値をとりながら $1$ に近づくとき，$f(x)$ の値は $2$ に限りなく近づきます。

一般に，関数 $f(x)$ において，変数 $x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に限りなく近づくとき，それに応じて，$f(x)$ の値が一定の値 $\alpha$ に限りなく近づく場合，

$$\lim_{x\to a}f(x)=\alpha\quad\stext{または}\quad \stext{$x\to a$ のとき $f(x)\to\alpha$}$$とかきます。

この値 $\alpha$ を $x\to a$ のときの関数 $f(x)$ の極限値または極限といいます。また，このとき，$f(x)$ は $\alpha$ に収束するといいます。

上の関数 $f(x)=2x^2$ については，$x\to1$ のときの極限値は $2$ で，

$$\lim_{x\to1}2x^2=2\quad\stext{または}\quad\stext{「$x\to1$ のとき $2x^2\to2$」}$$と表記します。

微分係数

グラフを用いて

関数 $y=f(x)$ において，$x$ の値が $a$ から $a+h$ まで変化するとき，$y$ の変化量は $f(a+h)-f(a)$ です。

$x$ の変化に対する $y$ の変化の割合

$$\Bun{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{f(a+h)-f(a)}{h}\mskip 5mu$$を，$x$ が $a$ から $a+h$ まで変化するときの平均変化率といいます。

また，$\displaystyle\lim_{h\to0}\mskip 6mu\bun{f(a+h)-f(a)}{h}\mskip 5mu$ が存在するとき，これを $f(x)$ の $x=a$ における微分係数といい，$\fp (a)$ で表します。

$\displaystyle \fp (a)=\lim_{h\to0}\mskip 6mu\bun{f(a+h)-f(a)}{h}\mskip 5mu$ は，関数 $y=f(x)$ のグラフの，$x=a$ における接線の傾きを表しています。

導関数の定義

関数として

関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $\displaystyle \fp (a)=\lim_{h\to0}\mskip 6mu\bun{f(a+h)-f(a)}{h}\mskip 5mu$ は，$a$ が様々な値をとると1つの関数となります。そこで，$a$ を $x$ で書き換えて，

$$\fp (x)=\lim_{h\to0}\mskip 6mu\bun{f(x+h)-f(x)}{h}\mskip 5mu\ \qquad\stext{…☆}$$と定義した関数 $\fp (x)$ を，$f(x)$ の導関数といい，導関数を求めることを微分するといいます。

$\varDelta$ を用いた表現

関数 $y=f(x)$ において，$x$ の増分（☆式の $h$）を $\varDelta x$ ，それに対する $y$ の増分（☆式の $f(x+h)-f(x)$）を $\varDelta y$ とすると，

$$\begin{aligned} \fp (x)&=\lim_{h\to0}\mskip 6mu\bun{f(x+h)-f(x)}{h}\mskip 5mu\\&=\lim_{\varDelta x\to0}\mskip 6mu\bun{\varDelta y}{\varDelta x}\mskip 5mu \end{aligned}$$と表すこともできます。

$\varDelta$（デルタ）を使った表記は簡略化できて便利なので，この表し方にも慣れておきましょう。

表記について

関数 $y=f(x)$ の導関数を表す記号としては，$y\prime $，$\bun{\dy}{\dx}\mskip 5mu$，$\bun{d}{\dx}\mskip 5muy$，$\bun{d}{\dx}\mskip 5muf(x)$ などが用いられます。

$\bun{d}{d\stext{●}\mskip 5mu}\stext{■}$ は，「■を●で微分する」という意味があります。たとえば，$s=f(t)$ のとき，$\Bun{d}{\dt}\mskip 5mus$ は「$s$ を $t$ で微分する」という意味になります。

また，関数 $f(x)$ の導関数が存在するとき，$f(x)$ は微分可能であるといいます。

微分法の公式

公式

導関数を，イチイチ定義を用いて計算するのはとても面倒くさいですよね。有名な関数は，導関数がどのような形になるのか公式化しておきましょう。

これを用いるとたとえば，

$$(x^4)\prime =4x^3,\ (x^3)\prime =3x^2,\ (x^2)\prime =2x,\ (x)\prime =1$$となります。また，$c$ が定数であるとき，

$$(c)\prime =0$$が成り立ちます。

導関数の性質

性質について

関数 $f(x)$，$g(x)$ が微分可能であるとき，以下が成り立ちます。