ベクトルの基本演算

ベクトルの定義

向きを含めた議論

線分 $\rmA\rmB$ に $\rmA$ から $\rmB$ への向きをつけて考えるとき，これを有向線分 $\rmA\rmB$ といい，$\rmA$ を始点，$\rmB$ を終点といいます。

有向線分は「位置」「向き」「大きさ（長さ）」の3つの要素がありますが，「位置」を無視して「向き」と「大きさ」の2つの要素だけを考えた量をベクトルといいます。

ベクトルの表記

有向線分 $\rmA\rmB$ で表されるベクトルを $\vec{\rmA\rmB}$ と表します。

図の $\rmA\rmB$ と $\rmC\rmD$ は位置は違いますが，向きと大きさは同じなので，$\vec{\rmA\rmB}$ と $\vec{\rmC\rmD}$ は同じベクトルになります。このとき，

$$\vec{\rmA\rmB}=\vec{\rmC\rmD}$$と表します。

ベクトルは，始点と終点を特に明示せずに，$\vec{a}$ のように表すこともあります。

また，ベクトルの大きさを表すときは，$\left|\vec{\rmA\rmB}\right|$ や $\left|\vec{a}\right|$ のように表します。

ベクトルの加法

和の考え方

$\vec{a}=\vec{\rmO\rmA}$，$\vec{b}=\vec{\rmA\rmC}$ とするとき，$\vec{\rmO\rmC}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の和といい，$\vec{a}+\vec{b}$ とかきます。つまり，

$$\vec{\rmO\rmC}=\vec{\rmO\rmA}+\vec{\rmA\rmC}$$であることがわかります。

少し口語的な説明をすると，「ベクトルは寄り道をしても，スタートとゴールが同じであれば，同じベクトルを表す」ということです。$\vec{\rmO\rmC}$ は $\rmO$ がスタート，$\rmC$ がゴールになります。

一方，$\vec{\rmO\rmA}+\vec{\rmA\rmC}$ は「$\rmO$ から $\rmA$ に行き，$\rmA$ から $\rmC$ に行ったベクトル」ですから，こちらも $\rmO$ がスタートで $\rmC$ がゴールです。

平行四辺形での考え方

また，図のように平行四辺形 $\rmO\rmA\rmC\rmB$ を考えると，$\vec{\rmO\rmB}=\vec{b}$，$\vec{\rmB\rmC}=\vec{a}$ となります。$\rmO$ からスタートして $\rmC$ でゴールのベクトル，つまり $\vec{\rmO\rmC}$ は，$\vec{\rmO\rmB}+\vec{\rmB\rmC}$ と表すこともできます。

ベクトルの加法に関しては「しりとり」のように考えるとイメージがしやすいでしょう。

$$\vec{\rmP\text{■}}+\vec{\text{■}\rmQ}=\vec{\rmP\rmQ}$$といったイメージです。

逆ベクトルと零ベクトル

逆ベクトル

ベクトル $\vec{a}$ と大きさが等しく，向きが反対であるベクトルを $\vec{a}$ の逆ベクトルといい，$-\vec{a}$ と表します。

$\vec{a}=\vec{\rmA\rmB}$ とすると，$-\vec{a}=\vec{\rmB\rmA}$ すなわち，$\vec{\rmB\rmA}=-\vec{\rmA\rmB}$ であることがわかります。

零ベクトル

ベクトル $\vec{\rmA\rmA}$ のように始点と終点が一致しているベクトルは，大きさが $0$ になります。このようなベクトルを零ベクトル（ゼロベクトル）といい，$\vec{0}$ と表します。

「えっ!? 大きさが $0$ って，向きも無くて大きさも $0$ なのに，ベクトルって言うの？」という疑問もあるでしょうが，ゼロベクトルを定義しておくととても便利なんです！

これより，下記の性質がわかります。

ベクトルとスカラー

スカラーとは

ベクトルというのは，向きと大きさをもった量ですが，単純に大きさだけを考えることがしばしばあります。

サイエンスの世界では，ベクトルと区別するために大きさだけを表す量をスカラーといいます。

注意点

$\vec{a}+\left(-\vec{a}\right)$ は $\vec{0}$ （ベクトル）になりますが，$0$（スカラー）にはなりません。

それは，$\vec{a}$ と $-\vec{a}$ という2つのベクトルどうしの加法であり，$\vec{a}+\left(-\vec{a}\right)$ という値はベクトルを表しているからです。$\vec{0}$ を導入するのも，こういった背景があるからです。

ベクトルの減法

図形での確認

$\vec{a}=\vec{\rmO\rmA}$，$\vec{b}=\vec{\rmO\rmB}$ とするとき，$\vec{a}-\vec{b}$ を $\vec{a}+\left(-\vec{b}\right)$ と定義して，これの図形的な意味を考えてみましょう。

図形より，

$$\begin{aligned} \vec{a}-\vec{b}&=\vec{a}+\left(-\vec{b}\right)\\ &=\vec{\rmO\rmA}+\vec{\rmA\rmC}=\vec{\rmO\rmC} \end{aligned}$$となりますので，$\vec{a}-\vec{b}$ は，図の $\vec{\rmO\rmC}$ を表すことがわかります。

ベクトルの位置は自由に設定できます。$\vec{\rmO\rmC}=\vec{\rmB\rmA}$ ですから，$\vec{a}-\vec{b}=\vec{\rmB\rmA}$ と考えることもできますね。また，$\vec{b}+\vec{\rmB\rmA}=\vec{a}$ が成り立つことからも，$\vec{\rmB\rmA}=\vec{a}-\vec{b}$ となることが確認できます。

このように，ベクトルの差は「終点の2点を結ぶベクトル」と考えることができます。$\vec{\rmB\rmA}$ を $\vec{a}-\vec{b}$ のように差の形で表すことはとても重要です。$\vec{\rmB\rmA}$ について，

$$\vec{\rmB\rmA}=\vec{a}-\vec{b}=\vec{\rmO\rmA}-\vec{\rmO\rmB}$$であり，始点がそろっている2つのベクトル $\vec{\rmO\rmA}$ と $\vec{\rmO\rmB}$ を用いて表せていますね。

差の考え方

1つのベクトルを2つのベクトルの差で表すときは，以下のように考えます。

$$\vec{\rmP\rmQ}=\vec{\text{■}\rmQ}-\vec{\text{■}\rmP}$$の形です。たとえば，$\vec{\rmP\rmQ}$ を $\vec{\rmO\rmP}$，$\vec{\rmO\rmQ}$ で表す場合，

$$\vec{\rmP\rmQ}=\vec{\rmP\rmO}+\vec{\rmO\rmQ}=-\vec{\rmO\rmP}+\vec{\rmO\rmQ}=\vec{\rmO\rmQ}-\vec{\rmO\rmP}$$となりますね。

イメージとしては，$\vec{\rmP\rmQ}$ の $\rmP$ を「頭」，$\rmQ$ を「お尻」だとすると，「お尻 $-$ 頭」の形になっています。

ベクトルの実数倍

実数倍の考え方

ベクトル $\vec{a}$ と実数 $k$ に対して，$\vec{a}$ の $k$ 倍を $k\vec{a}$ と表します。

$k>0$ のとき，$k\vec{a}$ は向きは $\vec{a}$ と同じで，大きさが $k$ 倍になったベクトルを表しています。$k<0$ のときは向きが逆で，大きさが $|k|$ 倍になったベクトルを表しています。

また，以下の性質が成り立ちます。

単位ベクトル

単位ベクトルとは

$\vec{a}$ と同じ向きで，大きさが $1$ となるベクトルを単位ベクトルといいます。

たとえば，$\left|\vec{a}\right|=2$である $\vec{a}$ と平行な単位ベクトル $\vec{e}$ は，$\vec{e}=\bun{\vec{a}}{2},\,-\Bun{\vec{a}}{2}$ となります。

一般に，$\vec{a}\ne\vec{0}$ のとき，$\vec{a}$ と平行な単位ベクトルは，$\bun{\vec{a}}{\left|\vec{a}\right|},\ -\Bun{\vec{a}}{\left|\vec{a}\right|}$ の2つです。