三角関数のグラフ

三角関数のグラフ

グラフの概形

$y=\sin x$，$y=\cos x$，$y=\tan x$ のグラフをそれぞれ考えてみましょう。

羽白

このグラフの話は物理の波動で当たり前のように扱う内容です！習得必須ですので頑張りましょう！

$y=\sin x$ のグラフ

以下の形になります。

$y=\cos x$ のグラフ

見た目は $\sin x$ のグラフと一緒ですが，少しズレた形です。

$y=\tan x$ のグラフ

こちらは見た目が全く異なります！

$y=\tan x$ のグラフでは，$x=\bun{\pi}{2}+n\pi$ に限りなく近づいていきます。このような直線を漸近線（ぜんきんせん）といいます。

周期

周期関数

関数 $f(x)$ において，$$f(x+p)=f(x)$$ が成り立つとき，$f(x)$ は周期 $p$ の周期関数であるといいます。

一般的に周期といえば，正で最小のものを意味します。たとえば $y=\sinx$ のグラフは，周期 $2\pi$ でも $4\pi$ と考えても，$20\pi$ と考えてもよいわけですが，正で最小のものだと $2\pi$ になるわけです。

よって，$y=\sin x$ や $y=\cos x$ は周期 $2\pi$ の，$y=\tan x$ は周期 $\pi$ の周期関数になります。

三角関数のグラフの特徴

偶関数と奇関数

関数 $f(x)$ について，偶関数と奇関数というものを定めます。

グラフの概形

奇関数のグラフは原点対称に，偶関数のグラフは$y$軸対称になります。

羽白

それぞれの三角関数について確認してみましょう。

$f(x)=\sin x$ とすると，

$$f(-x)=\sin(-x)=-\sin x=-f(x)$$より，$\sin x$ は奇関数であるとわかります。

$f(x)=\cos x$ とすると，

$$f(-x)=\cos(-x)=\cos x=f(x)$$より，$\cos x$ は偶関数ですね。

最後に，$f(x)=\tan x$ とすると，

$$f(-x)=\tan(-x)=-\tan x=-f(x)$$より，$\tan x$ は奇関数です。

よって，$y=\sinx$，$y=\tanx$ のグラフは原点対称，$y=\cosx$ のグラフは $y$ 軸対称となります。

羽白

さきほどのグラフでこのことは確認しておきましょう！

グラフの移動

他の関数と同様

三角関数のグラフも，これまで学習した関数と同じように，形を変えたり，平行移動したりすることができます。

羽白

具体例で説明したほうが早いので，いくつか具体例を見ていきましょう。

$y=2\sin x$

この関数のグラフは，$y=\sin x$ のグラフを，$y$ 軸方向に $2$ 倍に拡大したものになります。

$y=\sin\left(x-\bun{\pi}{3}\right)$

この関数のグラフは，$y=\sin x$ のグラフを，$x$ 軸方向に $\bun{\pi}{3}$ 平行移動したものになります。

$y=\sin2x$

この関数のグラフは，$y=\sin x$ のグラフを，$x$ 軸方向に $\bun12$ 倍したものになります。