三角関数の合成

三角関数の合成

合成とは？

三角関数の合成という，非常に重要な式変形について学んでいきましょう。とても難しく見えるのですが，仕組みは「加法定理の逆」をやっているだけです。

羽白

展開と因数分解の関係のようなイメージです。

まずは正しい手順を紹介しますが，最後に「三角関数の合成の手順」をまとめてありますので，しっかりとステップを身に付けておきましょう。

具体例を用いて

$y=\sin\theta+\sqrt3\cos\theta\ (0\leqq\theta<2\pi)$ について考えてみましょう。この関数を1種類の三角関数で表すために，$\sin\theta$ を $\cos\theta$ で（もしくはその逆で）表すことを考えてみますが，式が煩雑になります。

そこで，加法定理を利用して，

$$\sin\theta+\sqrt3\cosh=\stext{□}\sin(\theta+\alpha)\stext{\quad…\ ①}$$と変形できないか考えてみます。□ は $0$ 以外の正の実数，$\alpha$ は $-\pi<\alpha<\pi$ を満たす角度です。

$$\begin{aligned} \stext{□}\sin(\theta+\alpha)&=\stext{□}(\sinh\cos\alpha+\cosh\sin\alpha)\\ &=\stext{□}\cos\alpha\sinh+\stext{□}\sin\alpha\cosh \end{aligned}$$ですから，① は，

$$\sinh+\sqrt3\cosh=\stext{□}\cos\alpha\sinh+\stext{□}\sin\alpha\cosh\stext{\quad…\ ②}$$という形になります。② の両辺を比較すると，

$$\stext{□}\cos\alpha=1,\ \stext{□}\sin\alpha=\sqrt3$$であることがわかるため，

$$\cos\alpha=\mskip 4mu\bun{1}{\stext{□}\mskip 5mu},\ \sin\alpha=\mskip 4mu\bun{\sqrt3}{\stext{□}\mskip 5mu}\stext{\quad……\ ③}$$が得られます。よって，③ を満たすような □ と $\alpha$ が見つかればよいわけです。

羽白

ややこしくなってきましたが頑張りましょう…！

さて，$\alpha$ がどんな値であっても，$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ が成り立つわけですから，

$$\left(\bun{1}{\stext{□}\mskip 5mu}\right)^2+\left(\bun{\sqrt3}{\stext{□}\mskip 5mu}\right)^2=1$$が成り立ちます。これは，

$$\bun{1^2+\left(\sqrt3\right)^2}{\stext{□}\mskip 5mu^2}=1$$とかけるので，

$$\stext{□}=\sqrt{1+\left(\sqrt3\right)^2}=2$$であることがわかります。これを③ に代入すると，$\alpha$ は $\cos\alpha=\mskip 4mu\bun12$，$\sin\alpha=\mskip 4mu\bun{\sqrt3}{2}\mskip 5mu$ を満たすことから，$\alpha=\mskip 4mu\bun{\pi}{3}\mskip 5mu$ として求まります。

羽白

ようやく結論がでましたね！

長くなりましたが，まとめると結局，

$$\begin{aligned} y&=\sqrt{1^2+\left(\sqrt3\right)^2}\left(\bun12\sin\theta+\mskip 4mu\bun{\sqrt3}{2}\mskip 5mu\cos\theta\right)\\ &=2\left(\sin\theta\cos\mskip 6mu\bun{\pi}{3}\mskip 5mu+\cos\theta\sin\mskip 6mu\bun{\pi}{3}\mskip 5mu\right)\\ &=2\sin\left(\theta+\mskip 4mu\bun{\pi}{3}\mskip 5mu\right) \end{aligned}$$と変形できたわけです。

なお，上の例では $\alpha$ が特別角だったため直接 $\alpha$ を求めることでしたが，そうでない場合もあります。その場合でも，$\sin\alpha$ と $\cos\alpha$ が求まるので，$\alpha$ は一意的に定まることになります。「$\sin\alpha$ が☆，$\cos\alpha$ が△であるような角 $\alpha$」というような表現をすればokですね。

合成のまとめ

このようにして，$\sinh$ と $\cosh$ が混合した式を，$\sin$ のみで表すことを三角関数の合成といいます。上の式のように，三角関数の合成は $\sin$ の式で表すことが一般的ですが，$\cos$ で表すこともできます。

さて，上の流れが三角関数の合成の正しい手順なわけですが，上の作業を座標平面上での作業としてまとめると以下のような手順で求められます。この手順はしっかり覚えておきましょう。

合成の手順

$a\sin\theta+b\cosh=r\sin(\theta+\alpha)\ (r>0,\ -\pi<\alpha<\pi)$ のとき，$r$ と $\alpha$ を求める。

座標の設定

$xy$ 平面上に点 $\rmP(a,\,b)$ をとる。

原点からの距離の計算

原点 $\rmO$ から点 $\rmP(a,\,b)$ までの距離を求める。

角度を求める

動径 $\rmO\rmP$と $x$ 軸のなす角を求める。この値が $\alpha$ となる。