積和公式
公式の導出
三角関数の積を和の形に直す式が積和公式です。加法定理から導くことができます。
ポイント
以下の関係式が成立する。
$$\begin{aligned} \sin\alpha\cos\beta&=\mskip 4mu\bun12{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}\\ \cos\alpha\sin\beta&=\mskip 4mu\bun12{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}\\ \sin\alpha\sin\beta&=\mskip 4mu\bun12{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}\\ \cos\alpha\cos\beta&=\mskip 4mu\bun12{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)} \end{aligned}$$
証明も要チェック！
加法定理を用いて導出します。
$$\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\stext{\quad…\ ①}\\ \sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\stext{\quad…\ ②} \end{aligned}$$
① $+$ ② より，
$$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$$が得られますので，これを整理して
$$\sin\alpha\cos\beta=\mskip 4mu\bun12{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}$$です！
その他の積和公式も加法定理から導くことができます。
丸暗記はしないでください…！！
加法定理から瞬時に導けるようにすることが重要です。
和積公式
公式の導出
三角関数の積を和の形に直す式が積和公式でした。その逆で，三角関数の和を積の形に直すのが和積公式です。
積和公式と同様に，加法定理から導くことができます。
和積公式
以下の関係式が成立する。
$$\begin{aligned} \sin A+\sin B&=2\sin\mskip 6mu\bun{A+B}{2}\mskip 5mu\cos\mskip 6mu\bun{A-B}{2}\mskip 5mu\\ \sin A-\sin B&=2\cos\mskip 6mu\bun{A+B}{2}\mskip 5mu\sin\mskip 6mu\bun{A-B}{2}\mskip 5mu\\ \cos A+\cos B&=2\cos\mskip 6mu\bun{A+B}{2}\mskip 5mu\cos\mskip 6mu\bun{A-B}{2}\mskip 5mu\\ \cos A-\cos B&=-2\sin\mskip 6mu\bun{A+B}{2}\mskip 5mu\sin\mskip 6mu\bun{A-B}{2}\mskip 5mu \end{aligned}$$
こちらの公式も，導出の仕方を理解しておきましょう。
いくつかのStepが必要となりますので，順番に説明していきます。
角度の計算
まずはじめに，
$$\alpha+\beta=A,\ \alpha-\beta=B$$となる $\alpha,\,\beta$ を求めます。
式変形
以下の式変形を行います。
$$\begin{aligned} \sin A+\sin B&=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\\ &=(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)+(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)\\ &=2\sin\alpha\cos\beta \end{aligned}$$
角度の代入
$\alpha=\mskip 4mu\bun{A+B}{2}\mskip 5mu$，$\beta=\mskip 4mu\bun{A-B}{2}\mskip 5mu$ を代入します。すると，
$$\sin A+\sin B=2\sin\mskip 6mu\bun{A+B}{2}\mskip 5mu\cos\mskip 6mu\bun{A-B}{2}\mskip 5mu$$が得られます。
以上の手順で他の公式も導くことができます。結果を暗記するのではなく，この導出過程をしっかりと覚えて，必要なときに瞬時に導けるようにしておきましょう。
羽白も覚えていません。学生時代も覚えていませんでした。