加法定理
和や差について
2つの角の和や差の三角関数を考えてみましょう。
$$\cos\left(\bun{\pi}{2}-\bun{\pi}{3}\right)=\cos\Bun{\pi}{6}$$と計算できますが，
$$\cos\left(\bun{\pi}{2}-\bun{\pi}{3}\right)=\cos\Bun{\pi}{2}-\cos\bun{\pi}{3}\stext{\quad…\ ☆}$$は成り立つでしょうか？
実際に計算してみましょう。
$$\begin{aligned} &\cos\left(\bun{\pi}{2}-\bun{\pi}{3}\right)=\cos\bun{\pi}{6}=\bun{\sqrt{3}}{2}\\ &\cos\bun{\pi}{2}-\cos\bun{\pi}{3}=0-\bun12=-\Bun12 \end{aligned}$$ですから，☆は成り立ちません。
一般的に，
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha-\cos\beta$$ は成り立たないのですが，それでは $\cos(\alpha-\beta)$ はどのように表すことができるのでしょうか。
$\cos$ だけでなく，他の $\sin$ や $\tan$ についても，次の定理が成り立ちます。この定理を加法定理といいます。
三角関数で最も重要な定理といっても過言ではありません。物理ではそこまで使用頻度は高くないですが…。
加法定理
角度の和や差について，以下が成り立つ。
$$\begin{aligned}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\stext{\quad…\ ①}\\ \sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\stext{\quad…\ ②}\\ \cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\stext{\quad…\ ③}\\ \cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\stext{\quad…\ ④}\\ \tan(\alpha+\beta)&=\bun{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\stext{\quad…\ ⑤}\\ \tan(\alpha-\beta)&=\bun{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\stext{\quad…\ ⑥} \end{aligned}$$
倍角公式
加法定理を用いて
加法定理の ①，③，⑤ において，$\alpha=\beta=\theta$ とすると，下記の倍角（２倍角）の公式が得られます。
倍角公式
以下の関係式が成立する。
$$\begin{aligned} \sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta\\ \cos2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\&=2\cos^2\theta-1\\&=1-2\sin^2\theta\\ \tan2\theta&=\bun{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} \end{aligned}$$
証明も確認しましょう。
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ の両辺に，$\alpha=\beta=\theta$ を代入して，
$$\begin{aligned} \cos(\theta+\theta)&=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta\\ \cos2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta\stext{\quad…\ ☆} \end{aligned}$$
☆において，$\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ とすると，
$$\begin{aligned} \cos2\theta&=\cos^2\theta-(1-\cos^2\theta)\\ &=2\cos^2\theta-1 \end{aligned}$$
☆において，$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ とすると，
$$\begin{aligned} \cos2\theta&=1-\sin^2\theta-\sin^2\theta\\ &=1-2\sin^2\theta \end{aligned}$$
$\cos$ の公式はこれでok！
$\sin2\theta$，$\tan2\theta$ も同様に示すことができます。手を動かして確認してみてください。
半角公式
２倍角の公式を用いて
２倍角の公式より，以下の半角公式を導くことができます。
半角公式
以下の関係式が成立する。
$$\begin{aligned} \sin^2\bun{\theta}{2}&=\bun{1-\cos\theta}{2}\\ \cos^2\bun{\theta}{2}&=\bun{1+\cos\theta}{2}\\ \tan^2\bun{\theta}{2}&=\bun{1-\cos\theta}{1+\cos\theta} \end{aligned}$$
証明していきます！
倍角公式を利用します。$\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$ より，
$$\sin^2\theta=\Bun{1-\cos2\theta}{2}$$が成立します。$\theta$ を $\bun{\theta}{2}$ とすると，
$$\sin^2\bun{\theta}{2}=\bun{1-\cos\theta}{2}$$が得られますね。
同様に，$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ より，
$$\cos^2\theta=\bun{1+\cos2\theta}{2}$$が成立します。$\theta$ を $\bun{\theta}{2}$ とすると，
$$\cos^2\bun{\theta}{2}=\bun{1+\cos\theta}{2}$$が得られます。
$\tan^2\bun{\theta}{2}$ については，
$$\begin{aligned}\tan^2\bun{\theta}{2}&=\bun{\sin^2\Bun{\theta}{2}}{\cos^2\Bun{\theta}{2}}\\ &=\bun{\Bun{1-\cos\theta}{2}}{\Bun{1+\cos\theta}{2}}\\ &=\bun{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\end{aligned}$$と変形すればokですね。
３倍角公式
簡単な導出
加法定理の ①，③ において，$\alpha=\theta$，$\beta=2\theta$ とすると，以下の３倍角の公式が得られます。
３倍角の公式
以下の関係式が成立する。
$$\begin{aligned} &\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\\ &\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta \end{aligned}$$
３倍角の公式が物理で出てくることは極めて稀ですので，ここでは無理して覚えなくてokです。