ベクトルと平面座標

座標平面とベクトル

座標との関連

ベクトルは「向き」と「大きさ」をもった量です。

羽白

ベクトルを座標平面上で考えてみましょう。

原点を $\rmO$ とし，点 $\rmA(1,\,2)$ を座標平面上にとります。このとき $\vec{\rmO\rmA}=(1,\,2)$ と表します。

では，点 $\rmB(2,\,1)$ と点 $\rmC(3,\,3)$ となるとき，$\vec{\rmB\rmC}$ はどうなるでしょうか。図からわかる通り，$\vec{\rmB\rmC}=\vec{\rmO\rmA}$ ですので，$\vec{\rmB\rmC}=(1,\,2)$ となります。

成分を用いた表記

座標平面上で点 $\rmP(x_1,\,y_1)$ があるとき，

$$\vec{\rmO\rmP}=(x_1,\,y_1)=\mat{x_1}{y_1}$$と表します。

このように，ベクトルは成分で表すこともあります。単に $(x_1,\,y_1)$ とだけかかれた場合，それが点の座標を表しているのか，ベクトルを表しているのか判断できないので，ベクトルを成分でかくときには $\begin{pmatrix}x_1\\ y_1\end{pmatrix}$ のような形でかくこともあります。

成分表示の利点

成分表示のよい点は，$x$ 座標と $y$ 座標を設定すれば，どんなベクトルなのかすぐにイメージできる点です。

点 $\rmP$ の座標が $(-3,\,4)$ と与えられると，

$$\begin{aligned}\vec{\rmO\rmP}=\mat{-3}{4}\end{aligned}$$であり，$\left|\vec{\rmO\rmP}\right|$ は2点 $\rmO$，$\rmP$ 間の距離を表すので，$\left|\vec{\rmO\rmP}\right|=5$ ということがすぐにわかります。

羽白

（座標）$=$（位置ベクトル）ということを理解しておきましょう。

成分による演算

感覚通り

ベクトルを成分表示したものについて，演算を確認しておきましょう。これまでの扱い方とほとんど変わりはありません。