ポアソンの法則

ポアソンの法則

法則について

さて，準静的変化であるような断熱変化では，以下のポアソンの法則が成立します。

このポアソンの法則を用いて，断熱変化の $P-V$グラフについて考えてみましょう。

断熱変化の $P-V$ グラフ

ポアソンの法則の式を変形すると，

$$P=\mskip 4mu\bun{\stext{\hspace{-.5em}（一定値）}}{V^{\gamma}}$$が得られます。

等温変化であれば，$T$ が一定値ですので，状態方程式より

$$PV=nRT=\stext{\hspace{-.5em}（一定値）}$$です。変形すると，

$$P=\mskip 4mu\bun{\stext{\hspace{-.5em}（一定値）}}{V}$$ですね。

$P$ と $V$ は反比例の関係でしたので，グラフは双曲線になるのでした。

ということは，断熱変化の $P-V$グラフも等温変化の双曲線と似た形になることが予想されます。

見た瞬間に，「$\gamma>1$ なんだから当然 ②でしょ！」ということが理解できた，数学が得意なあなたはしばらく読み飛ばしてokです！

具体例で考える

さて，ぱっとわからなければ具体的に考えてみましょう。等温変化も断熱変化も$\rmA$点からスタートして，体積が $2$ 倍になるところまで変化させたとします。

等温変化の場合は，$PV=\stext{\hspace{-.5em}（一定）}$ ですから，$V$ が $2$ 倍なら $P$ は $\Bun12$ 倍ですね。

断熱変化の場合は，先ほどの例題からもわかる通り，$\Bun{1}{2^{\gamma}\mskip 5mu}$ 倍です。$\gamma$ は比熱比であり，$\gamma=\mskip 4mu\bun{\CP}{\CV}\mskip 5mu>1$ ですので，$\Bun{1}{2}\mskip 5mu>\bun{1}{2^{\gamma}\mskip 5mu}$ であることがわかります。

つまり，断熱変化の終状態の圧力よりも，等温変化の終状態の圧力の方が高いことがわかりますので，このことから ② のグラフが正解であることがわかります。

ポアソンの法則の導出

微小変化で考える

準性的な断熱変化における微小変化を考えます。温度が $\dT$ だけ変化した際に，気体の体積は $\dV$ だけ変化したとします。

この変化は微小変化なので圧力は変化しないものと考えると，気体のする仕事は，

$$W\out=P\dV$$とかけますね。よって，熱力学第一法則から，
$$0=n\CV\dT+P\dV \qquad\therefore \quad n\CV\dT=-P\dV$$が成立することがわかります。

この式を状態方程式 $PV=nRT\ (nRT=PV)$ で辺々割ると，

$$\bun{\CV}{R}\mskip 5mu\mskip 6mu\bun{\dT}{T}\mskip 5mu=-\mskip 6mu\bun{\dV}{V}\mskip 5mu\qquad\therefore \quad\mskip 6mu\bun{\dT}{T}\mskip 5mu=-\mskip 6mu\bun{R}{\CV}\mskip 5mu\mskip 6mu\bun{\dV}{V}\mskip 5mu$$が得られます。

足し合わせ（積分）

得られた式の両辺を積分する（微小変化を足し合わせる）と，

$$\int\mskip 6mu\bun{1}{t}\mskip 5mu\dT=-\mskip 6mu\bun{R}{\CV}\mskip 5mu\int\mskip 6mu\bun{1}{V}\mskip 5mu\dV\qquad\therefore \quad \log T=-\mskip 6mu\bun{R}{\CV}\mskip 5mu\log V+C$$が得られます（$C$ は積分定数）。この式をさらに変形すると，

$$\begin{aligned} \log T+\mskip 4mu\bun{R}{\CV}\mskip 5mu\log V=C&\Leftrightarrow \log TV^{\frac{R}{\CV}}=C\\&\Leftrightarrow TV^{\frac{R}{\CV}}=\stext{\hspace{-.5em}（一定）}\stext{\quad……\ ①} \end{aligned}$$であることがわかります。

状態方程式を用いた整理

状態方程式から，$T=\mskip 4mu\bun{PV}{nR}\mskip 5mu$ であることがわかりますので，これを ① 式に代入して整理すると，

$$PV^{1+\frac{R}{\CV}}=nR\times\stext{\hspace{-.5em}（一定値）}\stext{\quad……\ ②}$$が得られます。

$V$ の指数について，マイヤーの関係式を利用することで，

$$1+\mskip 4mu\bun{R}{\CV}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{\CV+R}{\CV}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{\CP}{\CV}\mskip 5mu=\gamma$$と整理できます。

また，$n$ も $R$ も変化しないので，②式の右辺を改めて

$$nR\times\stext{\hspace{-.5em}（一定値）=\stext{\hspace{-.5em}（一定）}}$$とすれば，

$$PV^{\gamma}=\stext{\hspace{-.5em}（一定）}$$としてポアソンの法則が得られます。

成立条件

つまり，状態変化の途中で常に状態方程式が成立している必要があります。

状態方程式が成立するためには，気体にムラが生じては困りますから，準静的変化である必要があるわけですね。

ポアソンの法則の表現方法

式変形

$PV^{\gamma}=\stext{\hspace{-.5em}（一定）}$ として表されたポアソンの法則を変形してみましょう。

P を消去する

状態方程式から，$P=\mskip 4mu\bun{nRT}{V}\mskip 5mu$ が成りたつので，

$$\begin{aligned}\mskip 6mu\bun{nRT}{V}\mskip 5mu\cdot V^{\gamma}=\stext{\hspace{-.5em}（一定）}&\Leftrightarrow T\cdot V^{\gamma-1}=\mskip 4mu\bun{1}{nR}\mskip 5mu\times\stext{\hspace{-.5em}（一定）} \end{aligned}$$

ここで，右辺の $\Bun{1}{nR}\mskip 5mu$ は一定値ですので，改めて右辺全体を一定とかき直すと，

$$TV^{\gamma-1}=\stext{\hspace{-.5em}（一定）}$$が得られます。

Vを消去する

状態方程式から，$V=\mskip 4mu\bun{nRT}{P}\mskip 5mu$ が成りたつので，
$$\begin{aligned} P\cdot\left(\bun{nRT}{P}\mskip 5mu\right)^{\gamma}=\stext{\hspace{-.5em}（一定）}&\Leftrightarrow P^{1-\gamma}\cdot T^{\gamma}=\left(\bun{1}{nR}\mskip 5mu\right)^{\gamma}\times\stext{\hspace{-.5em}（一定）} \end{aligned}$$

右辺の $\left(\Bun{1}{nR}\mskip 5mu\right)^{\gamma}$ は一定値ですので，改めて右辺全体を一定とすれば，

$$P^{1-\gamma}T^{\gamma}=\stext{\hspace{-.5em}（一定）}$$が得られます。

表記のまとめ

このように，ポアソンの法則は状態方程式を用いて変形することで，3通りの表現が得られます。

$PV^{\gamma}=\stext{\hspace{-.5em}（一定）}$ を覚えておき，他の形が使いやすい場合にはその場で導いて利用するのがよいでしょう。