熱力学

真空への断熱自由膨張

羽白 いむ

東京大学医学部医学科卒 現役医師
東大指導専門塾鉄緑会 物理・数学科元講師
物理基礎のトリセツ著者
数学のトリセツ共著者

真空への断熱自由膨張

準静的ではない場合

準静的な断熱変化はこれまで見てきたように,熱力学第一法則やポアソンの法則を利用して解いていけばokです。

羽白

では,準静的変化ではないような断熱変化の場合はどうでしょうか?

具体的な例を用いて考えてみましょう。

例題

体積が等しい2つの部屋が中央で仕切られており,左の部屋には圧力が $P$ の理想気体が封入されている。右の部屋は真空である。この状態で,中央の仕切りに穴を空けると,気体は両室にまんべんなく広がった。このときの気体の圧力$P\prime $ を求めよ。ただし,容器も仕切りも断熱材でできており,気体と外界の間で熱のやり取りはないものとする。

熱力学第一法則から

気体の仕事に注目する

断熱変化ではあるものの,準静的変化でないため,ポアソンの法則は成り立ちませんね。しかし,熱力学第一法則は成立します!

まず,問題の条件からわかる通り,$Q\in=0$ ですね。では,$W\out$ はどうでしょうか?気体が仕事をするときには,必ずその仕事の受け取り手がいるはずです。今回はどうでしょう?容器の壁も中央の仕切りも動かないので仕事を受け取りません。右の部屋はもともと真空なので,仕事を受け取る別の気体も存在しません。ということで,仕事の受け取り手が存在しないので,気体は仕事ができないわけですね。

「仕事の受け取り手がいない」という点がポイントです!

生徒

以上と熱力学第一法則より,$\varDelta U=0$ であることがわかりますので,$\varDelta T=0$ です。

気体の体積は $2$ 倍になっていることから,状態方程式 $PV=nRT$ より圧力は $\Bun12$ 倍となることがわかりますね。すなわち,$P\prime =\mskip 4mu\bun12P$ が答えです。

ミクロな視点で考える

気体分子の運動

羽白

あるいは次のように,ミクロな視点で考えてもよいでしょう。

気体分子は中央の仕切りの穴を通過するとき,加速することも減速することもありません。同じ速さのまま拡散します。

ということは,気体分子の速さは変わりませんので,内部エネルギーもそのままです。この点から,$\varDelta T=0$ であることがわかりますね。

-熱力学