力のモーメントの扱い

作用線

作用線とは

力の作用点から，力の向きに引いた直線を作用線といいます。

剛体に作用する力を考えるとき，この作用線上で力を平行移動させても力の効果は変わらないことが知られています。この性質を利用することで，力のモーメントを計算してみましょう。

$\rmB$点を作用点として作用している力 $\vec{F}$ ですが，作用線上で平行移動させても力のモーメントは変化しません。

$\rmA$点と作用点を結ぶ直線と力が直交する場合，力のモーメントは，

$$\stext{（回転軸と力の作用点の距離）}\times\stext{（力の大きさ）}$$として計算できますので，図の$\rmB'$点（$\rmA$点から作用線に下ろした垂線の足）が作用点となる位置に $\vec{F}$ を移動させます。

すると，線分$\rmA\rmB'$と $\vec{F}$ が直交するため，力のモーメントは反時計回りに，
$$M=l\sin\theta\cdot F$$として計算できますね。

その場で力の線分$\rmA\rmB$に垂直な成分を取り出し，$M=l\cdot F\sin\theta$ として計算した場合と同じ結果になっていることが確認できます。

このように，回転軸から作用線に下ろした垂線の足が作用点になる位置に力を移動させることによっても，力のモーメントを計算することができます。線分$\rmA\rmB'$の長さは「うでの長さ」と呼ばれています。

力のモーメントの求め方のまとめ

力のモーメントの求め方2通りはいずれも重要ですので，どちらでも計算できるようにしっかりと確認しておきましょう。

力のモーメントのまとめ

図の状況において，力 $\vec{F}$ のモーメントを計算する方法は以下の2通り。状況に応じて使い分ける。

その場で力を分解する

回転軸と力の作用点を結ぶ（線分$\rmA\rmB$）。

その場で線分$\rmA\rmB$に垂直な力の成分 $F\sin\theta$ を取り出し，線分$\rmA\rmB$の長さ $l$ との積をとることで，

$$M=l\cdot F\sin\theta$$として力のモーメントを得る。

力を移動させる

回転軸から力の作用線に下ろした垂線の足の位置（$\rmB'$）まで，力を作用線上で平行移動させる。

うでの長さ $l\sin\theta$ を利用して，

$$\begin{aligned} M=l\sin\theta\cdot F \end{aligned}$$として力のモーメントを得る。

具体的な練習

例題での確認

2通りの方法で力のモーメントの計算方法を確認しました。例題で具体的に練習してみましょう。

例題

水平な床の上に置かれた，高さ $h$，横幅 $a$ の物体がある。$\rmA$点，$\rmB$点にはそれぞれ図の向きに大きさが $F_1,\,F_2$ の力が加えられている。

力のモーメントの正の向きを反時計回りとして，以下の問いに答えよ。

$\rmO$点まわりの，力 $F_1$ の力のモーメントを求めよ。

$\rmO$点まわりの，力$F_2$ の力のモーメントを求めよ。

(1) について

力のモーメントを求める際，まずは「回転軸と力の作用点を結ぶ」という作業から始めます。

$\rmO$と$\rmA$を結んだとき，力 $F_1$ と直交しますね。この場合は，
$$\begin{aligned} M&=\stext{（回転軸と力の作用点の距離）}\times\stext{（力の大きさ）} \end{aligned}$$で速やかに計算できます。

$\rmO\rmA=\Bun34a$ であることを踏まえると，

$$|M_1|=\bun34aF_1$$が求める力のモーメントの大きさです。

この力のモーメントは，物体を反時計回りに回転させる作用を持ちますので，符号は正です。よって，求める答えは，

$$M_1=\bun34aF_1$$でokです。

(2) について

まずは (1) と同様に，$\rmO$と$\rmB$を結びます。

すると上図が得られます。

羽白

少しややこしいので，どちらの方法がよいかをしっかりと考えて解き進める必要があります。

今回は例題ですので，どちらの方法でも確認してみましょう。

その場で力を分解する

図のように角度 $\theta$ をとり，力 $F_2$ を分解して線分$\rmO\rmA$に垂直な成分を取り出します。

直角三角形に注目すると，線分$\rmA\rmB$の長さが $\sqrt{a^2+h^2}$，$\cos\theta=\Bun{h}{\sqrt{a^2+h^2}}$ であることがわかります。

$\rmA\rmB$に垂直な力の成分の大きさは $F_2\cos\theta$ ですので，
$$\begin{aligned} M_2&=\sqrt{a^2+h^2}\cdot F_2\cos\theta\ &=F_2h \end{aligned}$$として力のモーメントが得られます。

まぁ面倒ですね。はい。

生徒

力を移動させる

力 $F_2$ を作用線上で移動させます。

回転軸である$\rmO$から作用線に下ろした垂線の足$\rmB'$が作用点となる位置まで移動させるのでした。

すると，$\rmO\rmB'$と力が直交するため，

$$M_2=F_2h$$として力のモーメントを計算できます。

比較とまとめ

どうでしょう！結果は同じで $M_2=F_2h$ です。

その場で分解するは非常に厄介でしたが，力を移動させる方法だと一瞬ですね！

このように，どちらの方法を使うかによって計算量が大きく変わることがありますので，どちらの方法もしっかりと身に付けておくべきなのです。