運動量と力積

運動の激しさ

運動エネルギー $\Bun12mv^2$ について学習しました。質量と速さが大きければ大きいほど運動エネルギーは大きな値となり，他の物体に仕事をする能力を表していましたよね。

「運動の激しさ」を表していると考えることもできます。

しかし，運動エネルギーはスカラー量であり，向きに関する情報が含まれていません。

そこで登場するのが運動量です。

質量が $m$，速度が $\vec{v}$ の物体が持つ運動量を $\vec{p}=m\vec{v}$ と定義します。

質量と速さが大きければ大きいほど大きな値となりますが，速度ベクトルを用いて定義されているため，向きも含めた「運動の激しさ」を表す値と考えられますね。

単位は $\punit{kg\cdot m/s}$ です。

力積

運動量についてもう少し深く考えていきましょう。

力 $F$ を受けて，$x$ 軸上を等加速度運動している物体があるとしましょう。

運動方程式は $ma=F$ ですね。

等加速度運動ですから，初速度を $v_0$ とすると，公式から $v=v_0+at$ であることもわかります。

この2式から加速度 $a$ を消去してみましょう。すると，

$$mv-mv_0=Ft\stext{\quad……\ ☆}$$という式が出てきます。

「（力）$\times$（力を加えた時間）」という形になっています。

時刻 $t=0$ から時刻 $t$ までで考えたため，$Ft$ になりましたが，$t=0$ から力が加わるとは限らないため，力を加えた時間を $\varDelta t$ で表すことにすれば，$F\varDelta t$ と表せます。

この $F\varDelta t$ のことを，力積と呼びます。単位は $\punit{N\cdot s}$ です。

$mv-mv_0$ という形をしていますが，$mv$ は時刻 $t$ における物体の運動量，$mv_0$ は時刻 $t=0$ における物体の運動量で，「（後）$-$（前）」の形になっていますから，「運動量の変化」を表していますね。

つまり☆の式は，「物体の運動量変化と，物体が受けた力積は等しくなる」ということを意味しています。

このことは，等加速度運動や1次元の運動に限らず，一般的に成り立つことが知られています。

運動量や力は本来向きを持つベクトル量ですから，物体の運動量変化を，

$$\varDelta \overrightarrow{p}=\overrightarrow{p_{\stext{後}}}-\overrightarrow{p_{\stext{前}}}=m\overrightarrow{v_{\stext{後}}}-m\overrightarrow{v_{\stext{前}}}$$とし，受けた力積を $\vec{I}$ とすれば，$\varDelta\vec{p}=\vec{I}$ とまとめることができます。

求める力積は物体の運動量の変化に等しいので，
$$\overrightarrow{I}=m\overrightarrow{v\prime }-m\overrightarrow{v}=m(0,\,v_1)-m(v_0,\,0)=m(-v_0,\,v_1)$$

解答では数式で考えましたが，$m\vec{v\prime }-m\vec{v}=\vec{I}$ はベクトルの引き算の式と見ることもできます。

これらのベクトルの関係を図示すると，次の通りになります。

力が一定でない場合の力積

物体に作用する力が一定の場合，$F\varDelta t$ で力積を求めることができました。

しかしこの式だけでは，物体に作用する力が時刻によって変化する場合に困ってしまいます。

そこで，力が時刻によって変化するような場合でも力積を計算できるように，力積の定義を拡張します。

ものすごく簡単に表現すれば，「力を時間で積分すれば力積になる」ということです。

仕事は，

$$W=\int_{x_0}^{x_1}F_x\dx$$として定義されていました。

つまり，「力を位置で積分すれば仕事になる」ということです。両者を比較しながらしっかりと確認しておきましょう。

面積から考える力積

今回導入した $\vec{I}=\displaystyle\int_{t_0}^{t_1}\vec{F}\dt$ の式は，実際に力積を計算する際に用いることは稀です。

「そもそもベクトルの積分って何だよ！」という話になってしまいますよね。

1次元の運動であれば，ベクトルを用いずに，$I=\displaystyle\int_{t_0}^{t_1}F\dt$ とかくことができます。

さて，この $\displaystyle\int_{t_0}^{t_1}F\dt$ ですが，グラフの面積として考えてみましょう。

仕事 $W=\displaystyle\int F\dx$ は，横軸が $x$，縦軸が $F$ のグラフの面積でしたね。では，$\displaystyle\int F\dt$ はといわれたら，横軸が $t$，縦軸が $F$ のグラフだということはわかりやすいはずです。

つまり，力積は「横軸が $t$，縦軸が $F$ のグラフの面積」として考えることもできるのです。

$I=\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} F\dt$ の式を覚えることよりも，力積が「横軸が $t$，縦軸が $F$ のグラフの面積」と等しいことをしっかりと認識してください。

撃力

ボールをバットで打ったとき，ボールが受ける力積を考えてみましょう。

ボールがバットと接触する時間 $\varDelta t$ はごく短いですが，その間に作用する力の大きさ $F$ はとても大きいですよね。

そしてボールに加わる力の大きさは一定ではなく，時刻によって変化するはずです。

これらを踏まえると，$F-t$ グラフの概形は次図のようになるはずですね。

この $F-t$ グラフの面積が，ボールが受ける力積になりますが，直接計算することはできませんね。

力積が計算しやすいのは，力が常に一定の場合でした。そこで，$\varDelta t$ の間の力が $\overline{F}$ で一定であったと考えてみましょう。

力積の値は変わってはいけないので，$F-t$ グラフの面積が等しくなるように $\overline{F}$ を決定します。

この $\overline{F}$ のことを，平均の力と呼びます。

右側のグラフの面積を考えることで，ボールの受ける力積が $I=\overline{F}\varDelta t$ と表せることがわかりますね。

また，今回考えた「バットがボールを打つ力」のように，非常に短い時間の間だけ作用する，非常に大きな力のことを撃力と呼びます。

運動量と力積の問題では，こうした撃力が絡む問題が多いため，「運動量の変化と力積の関係 $\varDelta \vec{p}=\vec{I}$ は，撃力が絡む問題でしか使えない！」と勘違いする人が非常に多いです。