系のエネルギー保存則

系で考えるエネルギー保存則

系とは

エネルギー保存則は物体ごとに考えるのが基本ですが，複数の物体をまとめて考えることがあります。

複数の物体のまとまりは物体系（あるいは単に系）と呼ばれます。

羽白

以下の問題を確認してみましょう。物理基礎の演習問題で扱った問題と同じものです。

例題

質量が $m$ の物体Aと，質量が $M$ の物体Bが，滑らかな滑車を介してつながれている。はじめ，2つの物体はいずれも地面からの高さが $h$ の位置で静止していた。2物体から同時にそっと手を離すと，物体Bが下向きに動きはじめた。物体Bが地面に到達する直前の速さ$v$ を求めよ。ただし，重力加速度の大きさを $g$ とする。

各物体に作用する非保存力は張力のみです。この張力の大きさを $T$ としましょう。

物体Aに対して張力がなす仕事 $W_1$ は，

$$W_1=Th$$ですね。

一方，物体Bの進行方向と張力は正反対を向くことから，張力が物体Bに対してなす仕事 $W_2$ は，

$$W_2=-Th$$で与えられます。

$W_1$ も $W_2$ も $0$ でないことから，張力（非保存力）はそれぞれの物体に対して仕事をしているため，各物体の運動を別々に考えた場合には力学的エネルギー保存則が成立しません。

しかし，

$$W_1+W_2=Th-Th=0$$であることから，2物体全体で考えた際の張力の合計の仕事は $0$ となり，力学的エネルギーが保存されます。

以上を踏まえて，問題を解いていきましょう。

生徒

物体Bの下向きの速さが $v$ のとき，物体Aの速さは上向きに $v$ です。

また，物体Bは地面に到達するまでに $h$ だけ落下する一方で，物体Aは $h$ だけ上昇します。

よって，2物体のはじめの位置を重力の位置エネルギーの基準点とすると，物体Aの位置エネルギーは $mgh$ だけ増加し，物体Bの位置エネルギーは $Mgh$ だけ減少することになります。

以上から，「系全体での力学的エネルギー保存則」より，

$$\begin{aligned} 0=\bun12mv^2+\bun12Mv^2+mgh-Mgh \end{aligned}$$が成立することがわかります。

これを $v$ について整理すれば，

$$v=\sqrt{2gh\bun{M-m}{M+m}}$$として答えが求まります。

等加速度運動として考えると

上の問題において，2物体の運動はいずれも等加速度運動なので，公式を使って解くこともできます。

しかし，力学的エネルギー保存則を利用したほうがスムーズに解けることが多々あるため，どちらの方法でも解けるようにしておくべきでしょう。