図を用いたエネルギーの流れの把握
問題を解く際に役立つ図
「力学的エネルギー保存則まで導けたのにまだ続きがあるのかよ！」と思った皆さん，ごめんなさい！
実用的でとっても重要な内容なのでもうしばしお付き合いください！
導出の流れがわかっても問題が解けないとどうしようもないので，最後に問題を解く際のポイントを説明しておきます。
熱力学第一法則の確認
エネルギー保存則を立式する際，運動エネルギーや仕事を整理していると，流れがわからなくなったり，符号を間違えたりすることが多々あります。
そんなときは，図を用いて整理する方法が非常に有用です！
まず，熱力学第一法則を思い出してください。
$$Q\in=\varDelta U+W\out$$でしたね。
$\varDelta U$ は内部エネルギーの変化量ですが，「気体の内部エネルギー」は，気体の運動エネルギーと位置エネルギーの和のことでした。
「熱力学第一法則」の復習はこちら！
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仕事と熱
目次1 仕事と熱の関係2 内部エネルギー3 熱力学第一法則4 熱機関 仕事と熱の関係 まずはじめに，仕事と熱の関係を確認します。 力学で運動エネルギーを扱った際に，$\varDelta K=W$ とい ...
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この熱力学第一法則は，公式として覚えるのではなく，図を用いて流れを整理するのがポイントでしたね。
気体を「貯金箱」として考えて，「$Q^{\,\mathrm{in}}$：収入」「$W^{\,\mathrm{out}}$：支出」「$\varDelta U$：貯金の変化」と対応させると，以下のような図がかけます。
熱力学第一法則はそもそも「熱エネルギーを含めたエネルギー保存則」ですので，力学でも同じ考え方ができるはずです。
力学に当てはめると
話を力学に戻します。
$$\varDelta K+\sum\varDelta U=\sum W_{非}$$というエネルギー保存則の式は，左辺が「運動エネルギーと位置エネルギーの変化の和」を表しています。
これは熱力学第一法則の「内部エネルギー変化：$\varDelta U$」，つまり「貯金の変化」対応していますよね。
$\sum W_{非}$ は，「物体が外部からしてもらう仕事」ですので，「収入」に相当します。
以上を踏まえると，エネルギー（と仕事）の収支は，以下の図で表されることになります。
図を用いてエネルギーの流れを把握することで，複雑な状況が整理しやすくなることが多々あります。
とはいえ，上の図そのものの形は覚えないでください。その都度，状況を考えてかいていくものですので，見た目が変わることもあります。
具体的にどのように使うのか，例題を通じて確認しておきましょう。
具体例での確認
例題
水平面と $\theta$ の角度をなす粗い斜面上に質量が $m$ の物体が静止している。この物体に，斜面上向きに沿って初速度を与えたところ，斜面上を $L$ だけ上って静止した。与えた初速度の大きさ $v_0$ を求めよ。ただし，重力加速度の大きさを $g$，物体と斜面の間の動摩擦係数を $\mu$ とする。
さて，まずは全体のエネルギーの流れを確認してみましょう。物体に作用する力は重力，垂直抗力，動摩擦力の3つになります。
重力は保存力ですので位置エネルギーとして考えます。
垂直抗力は仕事が $0$ なのでエネルギーの流れには関与しません。
動摩擦力は非保存力ですので，その仕事を $W_{摩}$ として考えましょう。
これらに運動エネルギーを含めると，以下のエネルギーの図が完成します。
これより，立式すべきエネルギー保存則は，
$$\varDelta K+\varDelta U_g=W_{摩}$$であることがわかります。
それでは個別に値を求めていきましょう。
速さは $v_0$ から $0$ へと変化していますので，運動エネルギーの変化量は，
$$\varDelta K=0-\mskip 6mu\bun12mv_0^2=-\mskip 6mu\bun12mv_0^2$$です。
上図から，鉛直方向には高さが $L\sin\theta$ だけ高くなっていることがわかるので，重力の位置エネルギーの変化量は，
$$\varDelta U_g=mgL\sin\theta$$となります。
また，運動中の物体の力の作用図は上の通りです。
斜面に垂直な方向の力のつり合いから，$N=mg\cos\theta$ であることがわかりますので，動摩擦力の大きさは $\mu\prime N=\mu\prime mg\cos\theta$ です。
この動摩擦力は移動方向と $180\Deg$ の向きに作用するので，その仕事は，
$$W_{摩}=-\mu\prime N\cdot L=-\mu\prime mgL\cos\theta$$として求めることができます。
以上から，
$$-\mskip 6mu\bun12mv_0\!^2+mgL\sin\theta=-\mu\prime mgL\cos\theta$$と立式できます。
これがエネルギー保存則の式です。
整理することで，
$$v_0=\sqrt{2gL(\sin\theta+\mu\prime \cos\theta)}$$として答えが得られます。
例題の別解
上の例題では，図を用いて解きましたが，「非保存力の仕事の分だけ力学的エネルギーが増える」と考えてもokです。
この場合，
$$K_{前}+U_{g\stext{後}}+W_{摩}=K_{後}+U_{g\stext{後}}$$という形で立式することになるため，
$$\bun12mv_0\!^2+0-\mu\prime mgL\cos\theta=0+mgL\sin\theta$$となります。
見た目は少し異なりますが，$\varDelta K+\varDelta U_g=W_{摩}$ の式と同値になっていることが確認できますね。
