運動エネルギー

運動エネルギー

仕事の考察

前のセクションで仕事について学習しました。

このセクションでは，物体に仕事をするということについて少し踏み込んで考えていきます。

「手の届かないところに置かれている物体Aに仕事をしたい」という状況を考えてみましょう。

仕事をするためには，力を加えて力の向きに物体を動かせばよいのですが，直接触ることができないのであれば「別の物体をぶつける」という方法しか考えられないですね。

簡単な例

わかりやすいように，以下の状況で考えてみましょう。

まず大人Aについてですが，右向きに $F$ の力を受けながら右向きに $s$ だけ動いたことになるので，なされた仕事が $Fs$ であることがすぐにわかります。

次に，2人が接触している間の子どもBの運動について考えてみましょう。

運動方程式を立式するわけですが，2人の移動方向である右向きに $x$ 軸を取って考えます。子どもBが受ける力 $F$ は左向きであることに注意すると運動方程式は，

$$ma=-F$$となります。

この運動の間，子どもBは等加速度運動を行います。これは子どもBが受ける力が常に一定値 $-F$ であるためです。

よって，運動方程式から，$a=-\mskip 6mu\bun{F}{m}\mskip 5mu$ であることがわかります。

この運動によって子どもBは $s$ だけ移動し，速度が $v$ から $0$ に変化したので，等加速度運動の公式から，

$$2as=0^2-v^2$$が成立することがわかります。

この式に $a=-\mskip 6mu\bun{F}{m}\mskip 5mu$ を代入して整理すると，

$$\Bun12mv^2=Fs$$が得られます。

この右辺に出てきた $Fs$ は，子どもBが大人Aにした仕事（正確には子どもBが大人Aを押す力 $F$ がした仕事）ですね。

運動エネルギー

上の例で子どもBが大人Aに仕事をすることができたのは，子どもBが速さ $v$ で動いていたからにほかなりません。

このように，物体が他の物体に仕事をすることができる状態であるとき，物体はエネルギーを持っていると表現します。

特に上の例のように，運動している（速度を持っている）ことによって持っているエネルギーのことを運動エネルギーと呼びます。

実際の計算から，子どもBが大人Aにすることができた仕事は $Fs=\mskip 4mu\bun12mv^2$ であることがわかりましたので，「子どもBは速さ $v$ で運動していたことによって，$\Bun12mv^2$ の運動エネルギーを持っていた」と考えることができます。

この運動エネルギーを使うことによって大人Aに対して仕事をすることができたわけです。

この定義から，質量が大きければ大きいほど，速さが大きければ大きいほど物体の持つ運動エネルギーは大きくなることがわかります。

また，$K=\mskip 4mu\bun12mv^2$ は向きのないスカラー量です。

エネルギーも仕事と同じで向きがないことに気をつけましょう。

また，運動エネルギーの単位は仕事と同じで $\punit{J}$ になります。

上の話の通り，運動エネルギーは仕事に移り変わることができるため，同じ次元（単位）でないとおかしいですよね。

エネルギー収支関係

仕事と運動エネルギーの関係

先ほどの例とは逆に，物体に仕事をして運動エネルギーを与えるという状況を考えてみましょう。

上の例題から，$\varDelta K=W$ の関係式が導かれましたが，これは言葉で表現すると「物体の運動エネルギーは，力に仕事をされた分だけ変化する（増加する）」ということになります。

先ほど学習した通り，運動エネルギーを持つ物体は他の物体に対して仕事をすることができますが，逆に物体は仕事をしてもらうと運動エネルギーがその分増えるわけです。

例では1つの力で考えましたが，何も1つの力だけで考える必要はありません。

静止している物体に対して，重力が $10$ の仕事を，垂直抗力が $3$ の仕事を，弾性力が $-7$ の仕事をした場合，物体の運動エネルギーは，

$$\varDelta K=10+3-7=6$$ だけ増加することになります。

まとめ

運動エネルギーと仕事は互いに移り変わることができる関係であることがわかりました。

後に学習する力学的エネルギー保存則とごちゃごちゃになりやすいのですが，まずはしっかりと「仕事をされたらその分運動エネルギーが増える！」という大原則を理解しましょう。