運動の法則

運動方程式

運動方程式とは

先ほど紹介した運動方程式について再度確認しておきます。

物体に作用する力 $\vec{f}$ と加速度 $\vec{a}$ の間には $m\vec{a}=\vec{f}$ が成り立つと説明しましたが，この運動方程式がなぜ成り立つのかわかりますか…？

どうやったら証明できるのかと考えたくなるところですが，この運動方程式は実験から得られた原理ですので，証明できません。

「物体に力を加えたら物体が加速した，どうやら力と加速度の間には比例関係が必ず成り立つようで，その比例定数は物体によって違うことが実験からわかった。その比例定数 $m$ を物体の質量と呼ぶことにした」ということなのです。

物体に同じ力 $f$ を加えた場合，質量 $m$ が大きければ大きいほど加速度$a$ は小さくなります。

このことから，質量 $m$ は，「物体の加速させにくさ」を表していることがわかります。

物体に働く力がつり合うとき

真っ先に 1 を選びたくなる気持ちはわかりますが，わざわざこう聞くくらいですから 1 ではありません。

運動方程式から，

$$m\vec{a}=\vec{f}=\vec{0}\qquad \therefore\quad \vec{a}=\vec{0}$$であることがわかります。

つまり，物体は加速しないのです。加速しないということは，物体の速度が変化しないということです。

初速度が $\vec{0}$（つまり静止している状態）であれば，そのまま静止し続けますし，$\vec{0}$ 以外の初速度であれば，その速度のまま等速度運動を行います。

よって，2 が正解になります。

宇宙空間で考えてみるとわかりやすいと思います。

宇宙船の中（地球から離れているので重力が作用しない。空中に浮かぶ物体に働く力が $\vec{0}$ になる）で物体をちょこんと押し出すと，その物体はふわふわと同じ速度で運動しますよね。力が $\vec{0}$ だからといって，静止するとは限らないのです。

等速度運動する物体

では逆に，物体が等速度運動している場合はどうでしょうか。

等速度運動しているということは，加速度が $\vec{0}$ ですから，運動方程式に代入すると，

$$m\cdot\vec{0}=\vec{f}$$です。

これより，$\vec{f}=\vec{0}$ であることがわかりますので，物体に作用する力はつり合います。

運動の法則

3つの法則

これまで，力のつり合いや運動方程式，作用・反作用の法則について学習してきました。

これらの法則は，ニュートンの運動の法則としてまとめられています。どれが第何法則で，というのは特に暗記しなくてよいと思いますので，1つ1つの式について再確認しておきましょう。

第一法則：慣性の法則

物体に作用する力の合力が $\vec{0}$ のとき，物体は静止または等速度運動を行う。

第二法則：運動方程式

質量が $m$ の物体に作用する力の合力 $\vec{f}$ と，加速度 $\vec{a}$ の間には，$m\vec{a}=\vec{f}$ の関係式が成立する。

第三法則：作用・反作用の法則

物体Aが物体Bに力を及ぼすとき，物体Aは物体Bから等大逆向きの力を受ける。

なお，後のセクションで学習するエネルギー保存則や，（物理の範囲で学習する）運動量保存則といった物理の法則・公式はいずれも上のたった3つの運動の法則から導かれるものです。

古典力学は運動方程式から成り立っているといってもよいほど，非常に重要な式なのです。

力学の問題へのアプローチ

ここまでに，運動方程式や力，エネルギーについて学習してきました。

これで皆さんは物体に働く力の作用図をかくことができますし，それを元に運動方程式を立式することもできます。

運動方程式から加速度を求めることができれば，等加速度運動の公式などを利用して物体の速度や位置を求めることができますね。

実際に問題を解く際にもこの流れで解くことが大半ですので，以下にアプローチ方法をまとめておきます。

各物体に作用している力をかき出す。

• 場の力（重力）以外は接触している物体からしか力を受けない。物体の周り（輪郭）を1周しながら接触している物体を探す。
• 複数物体がある場合は，物体ごとに力の作用図をかく。
• 斜面をかく場合には，$\theta$ が小さくなるようにかく。

【知ってるだけで差がつく】答えの確認方法

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各方向ごとに運動方程式，力のつり合いの式を立てる。

• 直交する2方向に力を分解し，それぞれの方向ごとで立式する。
• 分解する力や加速度がなるべく少なくなる2方向を選ぶ。

未知数について式を解く。

• 文字のうち，どれが未知数なのかを意識して式変形する。
• 未知数の数に対して，立式した式の本数が足りているかを確認する。

速度や加速度を求めて設問に答える。

• 等加速度運動の場合は，等加速度運動の公式を適宜利用しながら問題に答える。