$\gdef\bun#1#2{\dfrac{#1}{#2}}$ $\gdef\Bun#1#2{\bun{#1}{#2}}$ $\gdef\punit#1{\ [\mathrm{#1}]\,}$ $\gdef{\d}{\mathop{d}{}}$ $\gdef\dx{dx}$ $\gdef\dy{dy}$ $\gdef\dt{dt}$ $\gdef\dv{dv}$ $\gdef\dr{dr}$ $\gdef\dV{dV}$ $\gdef\dP{dP}$ $\gdef\dT{dT}$ $\gdef\dU{dU}$ $\gdef\dI{dI}$ $\gdef\boldrm#1{\mathrm{#1}}$ $\gdef\rmA{\boldrm{A}}$ $\gdef\rmB{\boldrm{B}}$ $\gdef\rmC{\boldrm{C}}$ $\gdef\rmD{\boldrm{D}}$ $\gdef\rmE{\boldrm{E}}$ $\gdef\rmF{\boldrm{F}}$ $\gdef\rmG{\boldrm{G}}$ $\gdef\rmH{\boldrm{H}}$ $\gdef\rmI{\boldrm{I}}$ $\gdef\rmJ{\boldrm{J}}$ $\gdef\rmK{\boldrm{K}}$ $\gdef\rmL{\boldrm{L}}$ $\gdef\rmM{\boldrm{M}}$ $\gdef\rmN{\boldrm{N}}$ $\gdef\rmO{\boldrm{O}}$ $\gdef\rmP{\boldrm{P}}$ $\gdef\rmQ{\boldrm{Q}}$ $\gdef\rmR{\boldrm{R}}$ $\gdef\rmS{\boldrm{S}}$ $\gdef\rmT{\boldrm{T}}$ $\gdef\rmU{\boldrm{U}}$ $\gdef\rmV{\boldrm{V}}$ $\gdef\rmW{\boldrm{W}}$ $\gdef\rmX{\boldrm{X}}$ $\gdef\rmY{\boldrm{Y}}$ $\gdef\rmZ{\boldrm{Z}}$ $\gdef\Deg{^{\circ}}\!$ $\gdef\DegC{\,{}^{\scriptsize\circ\!}\rmC}$ $\gdef\punitDegC{\punit{{}^{\scriptsize\circ\!}\rmC}}$ $\gdef\neareq{\fallingdotseq}$ $\gdef\mss{\punit{m/s^2\,}}$ $\gdef\ms{\punit{m/s}}$ $\gdef\s{\punit{s}}$ $\gdef\m{\punit{m}}$ $\gdef\mm{\punit{m^2}}$ $\gdef\mmm{\punit{m^3}}$ $\gdef\rad{\punit{rad}}$ $\gdef\N{\punit{N}}$ $\gdef\J{\punit{J}}$ $\gdef\cal{\punit{cal}}$ $\gdef\W{\punit{W}}$ $\gdef\g{\punit{g}}$ $\gdef\kg{\punit{kg}}$ $\gdef\K{\punit{K}}$ $\gdef\Hz{\punit{Hz}}$ $\gdef\C{\punit{C}}$ $\gdef\A{\punit{A}}$ $\gdef\V{\punit{V}}$ $\gdef\mol{\punit{mol}}$ $\gdef\NA{N_{\rmA}}$ $\gdef\CV{C_{\rmV}}$ $\gdef\CP{C_{\rmP}}$ $\gdef\Pa{\punit{Pa}}$ $\gdef\SUB#1{_{\mathrm{#1}}}$ $\gdef\vec#1{\overrightarrow{#1}}$ $\gdef\dvec#1{\overrightarrow{#1}}$ $\gdef\stext#1{\text{\small #1}}$ $\gdef\sinh{\sin\theta}$ $\gdef\sinx{\sin x}$ $\gdef\siny{\sin y}$ $\gdef\cosh{\cos\theta}$ $\gdef\cosx{\cos x}$ $\gdef\cosy{\cos y}$ $\gdef\tanh{\tan\theta}$ $\gdef\tanx{\tan x}$ $\gdef\tany{\tan y}$ $\gdef\in{^{\,\mathrm{in}}}$ $\gdef\out{^{\,\mathrm{out}}}$ $\gdef\net{^{\,\mathrm{net}}}$ $\gdef\max{_{\mathrm{max}}}$ $\gdef\min{_{\mathrm{min}}}$

力学 物理基礎

加速度

羽白 いむ

東京大学医学部医学科卒 現役医師
数学のトリセツ共著者
東大指導専門塾鉄緑会 物理・数学科元講師

加速度

速度が変化する場合

さて，今度は車のように速度がどんどん変化する場合を考えてみましょう。

羽白

よく車などに乗っていてスピードがどんどん上がっていくと「加速している」なんて表現を使いますよね。

このように速度の変化について加速度というものを定義していきましょう。

具体例

速度が一定時間ごとに $10\punit{km/h}$ ずつ増えていく場合で考えてみます。

たとえば，

$$0\punit{km/h}\to10\punit{km/h}\to20\punit{km/h}\to30\punit{km/h}\to\cdots$$

のように速度が変化する場合，速度の増え方（速度の加わり方）は一定です。このときは加速の度合いは定数となります。

一方，速度の増え方が一定時間ごとに，$10\punit{km/h},\,20\punit{km/h},\,30\punit{km/h},\,\ldots$ のように増えていった場合はどうなるでしょうか。

物体の速度は，

$$0\punit{km/h}\to10\punit{km/h}\to30\punit{km/h}\to60\punit{km/h}\to\cdots$$

となります。速度の増え方が「増えている」ので，加速の度合いは時間によって変化する「増加関数」になるはずです。

加速度の定義

このような，加速の度合いを式で表してみましょう。

加速の度合いは，「ある時間の間にどれだけ速度が変化したか」を表すので，$$\bun{\varDelta v}{\varDelta t}=\bun{v(t+\varDelta t)-v(t)}{\varDelta t}$$とすればよさそうですが，速度を考えた場合と同様に $\varDelta t$ が大きくなってしまっては困ります。

加速の度合いを考える際も，$\varDelta t$ が大きすぎると正確に表現できない。

そこで，瞬間の速度を考えたときと同じように，十分短い時間で考えます。

つまり，速度の（瞬間の）変化率を考えて，これを加速度と呼ぶことにします。加速度は $a$ の文字を使って表されることが多いです。

加速度$a$ も時刻$t$ の関数になりますので，$a(t)$ とかくことができ，その定義から，$$a(t)=\lim\limits_{\varDelta t\to0}\Bun{\varDelta v}{\varDelta t}=\bun{\dv}{\dt}$$と表されます。

位置を時間で微分したものが速度で，それをさらにもう一度時間で微分（つまり位置を時間で二階微分）したものが加速度ですので，単位は $\mss$ となります。

位置の変化率を速度と定義したのと同様，速度の変化率を加速度と定義したわけです。日本語で表現すると，「単位時間（$1$秒間）あたりの速度の変化量」ということになります。

加速度の定義

物体の加速度$a$ は，物体の速度$v$ の変化率を表す。すなわち，物体の加速度$a$ は，物体の位置$v=\bun{\dx}{\dt}$ を時間$t$ で微分することで求められる。$$a=\bun{\dv}{\dt}=\bun{\d^2x}{\dt^2}$$

速度と加速度

位置，速度，加速度の関係

速度と加速度の関係を図にまとめると以下の通りになります。

$x$ を $t$ で微分したものを $\bun{\dx}{\dt}$ と表すが，これをもう一度 $t$ で微分したものを「$x$ の二階微分」と呼び，$\bun{\d^2x}{\dt^2}$ と表記する。

どうですか？

「位置と速度」の関係と，「速度と加速度」の関係が同じものであるとわかりますね。

微分の考え方を導入して，この点をしっかりと押さえておくことがまずは非常に重要です。

-力学, 物理基礎