位置ベクトル

位置ベクトル

位置ベクトルとは

平面上に，1点 $\rmO$ を固定して考えると，点 $\rmP$ の位置は，ベクトル $\vec{p}=\vec{\rmO\rmP}$ によって定めることができます。

このとき，$\vec{p}$ を（点 $\rmO$ に関する）点 $\rmP$ の位置ベクトルといい，$\rmP\left(\vec{p}\right)$ と表します。

今後，$\rmA\left(\vec{a}\right)$ や $\rmP\left(\vec{p}\right)$ などが出てきたときは「どこかに基準となる点 $\rmO$ があって，それを基準に $\vec{\rmO\rmA}$ や $\vec{\rmO\rmP}$ が作られるんだな」と考えてください。

位置ベクトルとは，ざっくり言い換えてしまえば「点を表すベクトル」と考えてもよいでしょう。

2点 $\rmA\left(\vec{a}\right)$，$\rmB\left(\vec{b}\right)$ に対して，ベクトル $\vec{\rmA\rmB}$ は，

$$\vec{\rmA\rmB}=\vec{b}-\vec{a}$$として与えられます。

内分点・外分点

羽白

ここから先，物理の「重心」の単元を学習するにあたって非常に重要な内容です！

内分点の計算

2点 $\rmA\left(\vec{a}\right)$，$\rmB\left(\vec{b}\right)$ を結ぶ線分 $\rmA\rmB$を $m:n$ に内分する点 $\rmP$ の位置ベクトル $\vec{p}$ を考えてみましょう。

図より，

$$\vec{\rmA\rmP}=\mskip 4mu\bun{m}{m+n}\mskip 5mu\vec{\rmA\rmB}=\mskip 4mu\bun{m}{m+n}\mskip 5mu\left(\vec{\rmO\rmB}-\vec{\rmO\rmA}\right)$$と表せるので，

$$\begin{aligned} \vec{\rmO\rmP}&=\vec{\rmO\rmA}+\vec{\rmA\rmP}\\ &=\vec{\rmO\rmA}+\mskip 4mu\bun{m}{m+n}\mskip 5mu\left(\vec{\rmO\rmB}-\vec{\rmO\rmA}\right)\\ &=\left(1-\mskip 6mu\bun{m}{m+n}\mskip 5mu\right)\vec{\rmO\rmA}+\mskip 4mu\bun{m}{m+n}\mskip 5mu\vec{\rmO\rmB}\\ &=\mskip 4mu\bun{n}{m+n}\mskip 5mu\vec{\rmO\rmA}+\mskip 4mu\bun{m}{m+n}\mskip 5mu\vec{\rmO\rmB} \end{aligned}$$と計算できます。

よって，

$$\vec{p}=\mskip 4mu\bun{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$$であることがわかります。

外分点の計算

羽白

考え方は内分と一緒です！

線分 $\rmA\rmB$ を $m:n$ に外分する点 $\rmQ$ の位置ベクトル $\vec{q}$ を考えてみます。

図から，

$$\vec{\rmA\rmQ}=\mskip 4mu\bun{m}{m-n}\mskip 5mu\vec{\rmA\rmB}=\mskip 4mu\bun{m}{m-n}\mskip 5mu\left(\vec{\rmO\rmB}-\vec{\rmO\rmA}\right)$$と表せるので，

$$\begin{aligned} \vec{\rmO\rmQ}&=\vec{\rmO\rmA}+\vec{\rmA\rmQ}\\ &=\vec{\rmO\rmA}+\mskip 4mu\bun{m}{m-n}\mskip 5mu\left(\vec{\rmO\rmB}-\vec{\rmO\rmA}\right)\\ &=\left(1-\mskip 6mu\bun{m}{m-n}\mskip 5mu\right)\vec{\rmO\rmA}+\mskip 4mu\bun{m}{m-n}\mskip 5mu\vec{\rmO\rmB}\\ &=\mskip 4mu\bun{-n}{m-n}\mskip 5mu\vec{\rmO\rmA}+\mskip 4mu\bun{m}{m-n}\mskip 5mu\vec{\rmO\rmB} \end{aligned}$$と計算できます。

よって，

$$\vec{q}=\mskip 4mu\bun{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m+(-n)}$$が得られます。

中点の表記

内分点の公式より，線分 $\rmA\rmB$ の中点 $\rmM$ の位置ベクトル $\vec{m}$ は，$\vec{m}=\mskip 4mu\bun{\vec{a}+\vec{b}}{2}$ となります。

重心の位置ベクトル

重心の位置ベクトル

3点 $\rmA\left(\vec{a}\right)$，$\rmB\left(\vec{b}\right)$，$\rmC\left(\vec{c}\right)$ を頂点とする $\triangle\rmA\rmB\rmC$ において，その重心 $\rmG$ の位置ベクトル $\vec{g}$ を求めてみましょう。

辺 $\rmB\rmC$ の中点 $\rmM$ の位置ベクトル $\vec{m}$ は，$\vec{m}=\mskip 4mu\bun{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ より，$2\vec{m}=\vec{b}+\vec{c}$ と表せます。

重心 $\rmG$ は中線 $\rmA\rmM$ を $2:1$ に内分する点なので，

$$\vec{g}=\mskip 4mu\bun{\vec{a}+2\vec{m}}{2+1}=\mskip 4mu\bun{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$$となります。

覚えやすいきれいな形！

生徒