三角比の拡張
三角比の問題点
三角比を直角三角形を用いて定義する場合，1つ問題点があります。$150\Deg$ や $225\Deg$ のように，$90\Deg$ を超える角度の三角比が定義できなくなってしまうことです。
その問題を解決するために，三角比を改めて定義しなおす必要があります（だったら最初からそうしておけ！と，ツッコまれそうですが，直角三角形の定義自体は使用頻度が高く，重要なのでもともとの定義も大切！）。
数学Ⅰの範囲では，$0\Deg$ 以上 $180\Deg$ 以下の角までの定義で十分であるため，まずはこの範囲で定義します。
半円を用いる
以下のように座標平面を用いると，三角比の定義を鋭角以外の範囲に拡張することができるようになります。
$\theta$ を $0\Deg\leqq\theta\leqq 180\Deg$ の与えられた角とします。
座標平面上に原点 $\rmO$ を中心として，半径 $r$ の半円（正円でもよい）をかき，$\rmA(r,\ 0)$ とし，与えられた $\theta$ に対して
$$\angle \rmA\rmO\rmP=\theta$$となる点 $\rmP(x,\ y)$ を半円周上にとります。
このとき，
$$\sin\theta=\mskip 4mu\bun{y}{r}\mskip 5mu,\ \cos\theta=\mskip 4mu\bun{x}{r}\mskip 5mu,\ \tan\theta=\mskip 4mu\bun{y}{x}\mskip 5mu$$と定義します。（これによって，$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ が得られます。）
このように定義しなおせば，角度が鋭角でなくても，三角比を求めることができますね。
単位円
円を用いて考える際，半径に応じて点 $\rmP$の座標も変化します。
結局のところ，角度が決まってしまえば，円の半径の長さは何でもいいのです！
それなら，より簡単な半径で定義をした方が考えやすいですね…。
そこで，半径の大きさが $1$ の円で定義をしてみましょう。この半径の大きさが $1$ の円のことを単位円といいますので，覚えておいてください。
単位円を用いた定義
$r=1$ として，先ほどの三角比を定義しなおします。「何回やるんだ！」と，これまたツッコまれそうですが，これが最後です！この定義をしっかりと覚えてください。
上の図は，単位円周上に
$$\angle\rmA\rmO\rmP=\theta$$となるように，点 $\rmP$をとったものです。
先ほど定義した三角比の $r$ に $1$ を代入しましょう！
すると，
$$\sin\theta =y,\ \cos\theta=x,\ \tan\theta=\mskip 4mu\bun{y}{x}\mskip 5mu$$となります。
これがどういうことかわかりますか？結局のところ，$\theta$ という角を図のようにとったとき，
$$\begin{aligned}&\stext{点 $\rmP$の $x$ 座標が $\cos\theta$}\\ &\stext{点 $\rmP$の $y$ 座標が $\sin\theta$}\\ &\stext{直線 $\rmO\rmP$ の傾きが $\tan\theta$} \end{aligned}$$ということになります。
この考え方がとっても重要です！！
単位円と三角比
単位円周上の（点 $\rmP$ の）$x$ 座標が $\cos\theta$，$y$ 座標が $\sin\theta$，（直線 $\rmO\rmP$ の）傾きが $\tan\theta$ となる。
三角比の変換
変換の考え方
$90\Deg-\theta$ や $180\Deg-\theta$ などの三角比を求める場面が多々あります。
公式は丸暗記せずに，仕組みを理解して，すぐに導出できるようにしておきましょう。
公式丸暗記は禁止です！
$90\Deg-\theta$ に関する三角比
$90\Deg-\theta$ の三角比は，次の直角三角形を利用します。
すると，
$$\begin{aligned} \sin(90\Deg-\theta)&=\mskip 4mu\bun{x}{r}\mskip 5mu=\cos\theta\\ \cos(90\Deg-\theta)&=\mskip 4mu\bun{y}{r}\mskip 5mu=\sin\theta\\ \tan(90\Deg-\theta)&=\mskip 4mu\bun{x}{y}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{1}{\Bun{y}\mskip 5mu{x}}=\mskip 4mu\bun{1}{\tan\theta}\mskip 5mu\end{aligned}$$のように計算できます。
まとめ
$90\Deg-\theta$ に関する三角比は，
$$\begin{aligned}\sin(90\Deg-\theta)&=\cos\theta\\ \cos(90\Deg-\theta)&=\sin\theta\\ \tan(90\Deg-\theta)&=\mskip 4mu\bun{1}{\tan\theta}\mskip 5mu\end{aligned}$$
$180\Deg-\theta$ に関する三角比
$180\Deg-\theta$ の三角比は，次の単位円を利用します。
$\angle \rmA\rmO\rmP=\theta，\ \angle \rmA\rmO\rmQ=180\Deg-\theta$ とすると，上の図のように，点 $\rmP$と点 $\rmQ$ は $y$ 軸に関して対称となります。
$180\Deg-\theta$ の三角比は，点 $\rmQ$ の $x$ 座標，$y$ 座標，直線 $\rmO\rmQ$ の傾きを考えます。
$$\begin{aligned} \sin(180\Deg-\theta)&=y=\sin\theta\\ \cos(180\Deg-\theta)&=-x=-\cos\theta\\ \tan(180\Deg-\theta)&=\stext{\hspace{-.5em}（直線$ \rmO\rmQ$ の傾き）}=-\tan\theta \end{aligned}$$と計算できますね。
まとめ
$180\Deg-\theta$ に関する三角比は，
$$\begin{aligned}\sin(180\Deg-\theta)&=\sin\theta\\ \cos(180\Deg-\theta)&=-\cos\theta\\ \tan(180\Deg-\theta)&=-\tan\theta\end{aligned}$$
公式として覚えるのではなく，「必要となる図」をぱっとかいて導けるようにしておくことが何より重要です。