剛体の重心
重心とは
これまでに扱ってきた質点の力の作用図では,重力は「鉛直下向きに mg」とすんなりかくことができましたが,剛体の場合はどうでしょうか。
「鉛直下向きに mg」であることは確かなのですが,作用点を考えないといけないですね。
この重力の作用点のことを重心と呼びます。
剛体に作用する重力
剛体に作用する重力の作用点は,剛体の重心として考える。
重心を求めるために
剛体の重心を求めるために,質量が m の剛体を n 個の小さな部分に分割して考えます(それぞれが質点とみなせるくらい小さく!)。
それぞれの質量を m1,m2,…mn とすると,
m=m1+m2+⋯mnが成り立ちます。
この n 個それぞれの「パーツ」に働く重力の合力が,剛体に働く重力と考えることができるはずです。
そこで,1つ1つの重力を合成していきましょう。いきなり n 個だと頭がパンクしてしまうので,まずは2つのパーツで考えます。
2物体の重心
重力の作用点を考える
図のように,質量 m1,m2 の物体がそれぞれ x 軸上の x=x1,x2 の位置にあるものとします。
このとき,それぞれの物体に作用する重力の合力は,大きさが (m1+m2)g であり,2物体間を m2g:m1g=m2:m1 に内分する点になります。
この点の座標を xG とすると,内分点の公式から,
xG=m1+m2m1x1+m2x2であることがわかりますね。
この点が2物体の重心の座標となります。
この,2物体の重心 xG に (m1+m2)g の重力が作用している状況は,はじめから xG の位置に質量が m1+m2 の1つの物体が存在していた場合と同じ状況と考えることができます。
なお,実際には3次元空間で考えるため,y 座標や z 座標も考えないといけないのですが,同様の式で計算することができます。
2物体の重心
質量がそれぞれ m1,m2 の物体が x=x1,x2 の位置に存在するとき,2物体の重心の座標は,xG=m1+m2m1x1+m2x2 となる。
剛体の重心の求め方
n 個への拡張
2物体の重心の求め方がわかりましたので,n 個の物体の重心を求めるにあたってはこれを繰り返していけばokです。
2物体の重心を考えることで,質量 m1+m2 の物体が x=m1+m2m1x1+m2x2 の位置にある状況として考えることができました。

羽白
この物体と,3番目のパーツの重心を考えてみましょう。
3番目のパーツは質量が m3 であり,x=x3 の位置にあるものとすれば,その重心の座標は,
xG′=(m1+m2)+m3(m1+m2)(m1+m2m1x1+m2x2)+m3x3=m1+m2+m3m1x1+m2x2+m3x3です。
この x=xG′ の位置に,m1+m2+m3 の質量の物体があるものと考えることができますね。
4番目以降のパーツも同様にまとめていくことで,n 個のパーツ全体の重心の位置が,
x=m1+m2+⋯mnm1x1+m2x2+⋯mnxnであることがわかります。
y 座標,z 座標も同様に考えると,まとめて表記することも可能です。
各パーツの位置ベクトルを r1,r2,…,rn とすると,全体の重心の座標は,
rG=m1+m2+⋯+mnm1r1+m2r2+⋯+mnrnになります。
重力の合力の大きさは,(m1+m2+⋯+mn)g=mg ですので,この重心に剛体の重力 mg がかかると考えてよいことが確認できますね。
具体例の確認

羽白
「こんなメンドウな計算,やってられない!」と思った皆さん,安心してください。
重心は「物体の代表点」であり,直感的にわかることが大半です。たとえば,円盤の重心は円盤の中心になりますし,棒の重心も棒の中心になります。
例題
長さが l,質量が M の太さが一様でない棒がある。この棒の右端である A 点に鉛直上向きの力を加えたところ,大きさが F になったところで A 点が地面から離れた。棒の左端から重心までの距離を求めよ。ただし,重力加速度の大きさを g とする。
太さも素材も一様な棒であれば,重心は棒の中心となります。今回は太さが一様ではない棒で考えているため,重心の位置は棒の中心とは限りません。
棒の左端から重心までの距離を L とする。
棒の左端まわりの力のモーメントのつり合いより,
Fl=MgLが成り立つ。これを整理して,L=MgFl
力のつり合いを考えるにあたっては,棒の左端において作用する垂直抗力を考える必要がある。この垂直抗力の,棒の左端まわりの力のモーメントは 0 となるため,解答の力の作用図においては省略した。