重心

剛体の重心

重心とは

これまでに扱ってきた質点の力の作用図では，重力は「鉛直下向きに $mg$」とすんなりかくことができましたが，剛体の場合はどうでしょうか。

「鉛直下向きに $mg$」であることは確かなのですが，作用点を考えないといけないですね。

この重力の作用点のことを重心と呼びます。

重心を求めるために

剛体の重心を求めるために，質量が $m$ の剛体を $n$ 個の小さな部分に分割して考えます（それぞれが質点とみなせるくらい小さく！）。

それぞれの質量を $m_1,\,m_2,\,\ldots m_n$ とすると，

$$m=m_1+m_2+\cdots m_n$$が成り立ちます。

この $n$ 個それぞれの「パーツ」に働く重力の合力が，剛体に働く重力と考えることができるはずです。

そこで，1つ1つの重力を合成していきましょう。いきなり $n$ 個だと頭がパンクしてしまうので，まずは2つのパーツで考えます。

2物体の重心

重力の作用点を考える

図のように，質量 $m_1,\,m_2$ の物体がそれぞれ $x$ 軸上の $x=x_1,\,x_2$ の位置にあるものとします。

このとき，それぞれの物体に作用する重力の合力は，大きさが $(m_1+m_2)g$ であり，2物体間を $m_2g:m_1g=m_2:m_1$ に内分する点になります。

この点の座標を $x\SUB{G}$ とすると，内分点の公式から，

$$x\SUB{G}=\Bun{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$$であることがわかりますね。

この点が2物体の重心の座標となります。

この，2物体の重心 $x\SUB{G}$ に $(m_1+m_2)g$ の重力が作用している状況は，はじめから $x\SUB{G}$ の位置に質量が $m_1+m_2$ の1つの物体が存在していた場合と同じ状況と考えることができます。

なお，実際には3次元空間で考えるため，$y$ 座標や $z$ 座標も考えないといけないのですが，同様の式で計算することができます。

剛体の重心の求め方

$n$ 個への拡張

2物体の重心の求め方がわかりましたので，$n$ 個の物体の重心を求めるにあたってはこれを繰り返していけばokです。

2物体の重心を考えることで，質量 $m_1+m_2$ の物体が $x=\Bun{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$ の位置にある状況として考えることができました。

羽白

この物体と，3番目のパーツの重心を考えてみましょう。

3番目のパーツは質量が $m_3$ であり，$x=x_3$ の位置にあるものとすれば，その重心の座標は，

$$\begin{aligned}x\SUB{G}'&=\bun{(m_1+m_2)\left(\bun{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}\right)+m_3x_3}{(m_1+m_2)+m_3}\\[12pt]&=\bun{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}\end{aligned}$$です。

この $x=x\SUB{G}'$ の位置に，$m_1+m_2+m_3$ の質量の物体があるものと考えることができますね。

4番目以降のパーツも同様にまとめていくことで，$n$ 個のパーツ全体の重心の位置が，

$$x=\Bun{m_1x_1+m_2x_2+\cdots m_nx_n}{m_1+m_2+\cdots m_n}$$であることがわかります。

$y$ 座標，$z$ 座標も同様に考えると，まとめて表記することも可能です。

各パーツの位置ベクトルを $\vec{r_1},\,\vec{r_2},\,\ldots,\,\vec{r_n}$ とすると，全体の重心の座標は，

$$\vec{r\SUB{G}}=\Bun{m_1\vec{r_1}+m_2\vec{r_2}+\cdots+m_n\vec{r_n}}{m_1+m_2+\cdots+m_n}$$になります。

重力の合力の大きさは，$(m_1+m_2+\cdots+m_n)g=mg$ ですので，この重心に剛体の重力 $mg$ がかかると考えてよいことが確認できますね。

具体例の確認

羽白

「こんなメンドウな計算，やってられない！」と思った皆さん，安心してください。

重心は「物体の代表点」であり，直感的にわかることが大半です。たとえば，円盤の重心は円盤の中心になりますし，棒の重心も棒の中心になります。

例題

長さが $l$，質量が $M$ の太さが一様でない棒がある。この棒の右端である $\rmA$ 点に鉛直上向きの力を加えたところ，大きさが $F$ になったところで $\rmA$ 点が地面から離れた。棒の左端から重心までの距離を求めよ。ただし，重力加速度の大きさを $g$ とする。

太さも素材も一様な棒であれば，重心は棒の中心となります。今回は太さが一様ではない棒で考えているため，重心の位置は棒の中心とは限りません。

棒の左端から重心までの距離を $L$ とする。

棒の左端まわりの力のモーメントのつり合いより，

$$Fl=MgL$$が成り立つ。これを整理して，$L=\bun{F}{Mg}l$