力学

重心

羽白 いむ

東京大学医学部医学科卒 現役医師
東大指導専門塾鉄緑会 物理・数学科元講師
物理基礎のトリセツ著者
数学のトリセツ共著者

剛体の重心

重心とは

これまでに扱ってきた質点の力の作用図では,重力は「鉛直下向きに $mg$」とすんなりかくことができましたが,剛体の場合はどうでしょうか。

「鉛直下向きに $mg$」であることは確かなのですが,作用点を考えないといけないですね。

この重力の作用点のことを重心と呼びます。

剛体に作用する重力

剛体に作用する重力の作用点は,剛体の重心として考える。

重心を求めるために

剛体の重心を求めるために,質量が $m$ の剛体を $n$ 個の小さな部分に分割して考えます(それぞれが質点とみなせるくらい小さく!)。

それぞれの質量を $m_1,\,m_2,\,\ldots m_n$ とすると,

$$m=m_1+m_2+\cdots m_n$$が成り立ちます。

この $n$ 個それぞれの「パーツ」に働く重力の合力が,剛体に働く重力と考えることができるはずです。

そこで,1つ1つの重力を合成していきましょう。いきなり $n$ 個だと頭がパンクしてしまうので,まずは2つのパーツで考えます。

2物体の重心

重力の作用点を考える

図のように,質量 $m_1,\,m_2$ の物体がそれぞれ $x$ 軸上の $x=x_1,\,x_2$ の位置にあるものとします。

このとき,それぞれの物体に作用する重力の合力は,大きさが $(m_1+m_2)g$ であり,2物体間を $m_2g:m_1g=m_2:m_1$ に内分する点になります。

この点の座標を $x\SUB{G}$ とすると,内分点の公式から,

$$x\SUB{G}=\mskip 4mu\bun{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}\mskip 5mu$$であることがわかりますね。

この点が2物体の重心の座標となります。

この,2物体の重心 $x\SUB{G}$ に $(m_1+m_2)g$ の重力が作用している状況は,はじめから $x\SUB{G}$ の位置に質量が $m_1+m_2$ の1つの物体が存在していた場合と同じ状況と考えることができます。

なお,実際には3次元空間で考えるため,$y$ 座標や $z$ 座標も考えないといけないのですが,同様の式で計算することができます。

2物体の重心

質量がそれぞれ $m_1,\,m_2$ の物体が $x=x_1,\,x_2$ の位置に存在するとき,2物体の重心の座標は,$x\SUB{G}=\mskip 4mu\bun{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}\mskip 5mu$ となる。

剛体の重心の求め方

$n$ 個への拡張

2物体の重心の求め方がわかりましたので,$n$ 個の物体の重心を求めるにあたってはこれを繰り返していけばokです。

2物体の重心を考えることで,質量 $m_1+m_2$ の物体が $x=\mskip 4mu\bun{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}\mskip 5mu$ の位置にある状況として考えることができました。

羽白

この物体と,3番目のパーツの重心を考えてみましょう。

3番目のパーツは質量が $m_3$ であり,$x=x_3$ の位置にあるものとすれば,その重心の座標は,

$$\begin{aligned}x\SUB{G}\prime &=\mskip 4mu\bun{(m_1+m_2)\left(\bun{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}\mskip 5mu\right)+m_3x_3}{(m_1+m_2)+m_3}\\[12pt]&=\mskip 4mu\bun{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}\mskip 5mu\end{aligned}$$です。

この $x=x\SUB{G}\prime $ の位置に,$m_1+m_2+m_3$ の質量の物体があるものと考えることができますね。

4番目以降のパーツも同様にまとめていくことで,$n$ 個のパーツ全体の重心の位置が,

$$x=\mskip 4mu\bun{m_1x_1+m_2x_2+\cdots m_nx_n}{m_1+m_2+\cdots m_n}\mskip 5mu$$であることがわかります。

$y$ 座標,$z$ 座標も同様に考えると,まとめて表記することも可能です。

各パーツの位置ベクトルを $\vec{r_1},\,\vec{r_2},\,\ldots,\,\vec{r_n}$ とすると,全体の重心の座標は,

$$\vec{r\SUB{G}}=\mskip 4mu\bun{m_1\vec{r_1}+m_2\vec{r_2}+\cdots+m_n\vec{r_n}}{m_1+m_2+\cdots+m_n}$$になります。

重力の合力の大きさは,$(m_1+m_2+\cdots+m_n)g=mg$ ですので,この重心に剛体の重力 $mg$ がかかると考えてよいことが確認できますね。

具体例の確認

羽白

「こんなメンドウな計算,やってられない!」と思った皆さん,安心してください。

重心は「物体の代表点」であり,直感的にわかることが大半です。たとえば,円盤の重心は円盤の中心になりますし,棒の重心も棒の中心になります。

例題

長さが $l$,質量が $M$ の太さが一様でない棒がある。この棒の右端である $\rmA$ 点に鉛直上向きの力を加えたところ,大きさが $F$ になったところで $\rmA$ 点が地面から離れた。棒の左端から重心までの距離を求めよ。ただし,重力加速度の大きさを $g$ とする。

太さも素材も一様な棒であれば,重心は棒の中心となります。今回は太さが一様ではない棒で考えているため,重心の位置は棒の中心とは限りません。

棒の左端から重心までの距離を $L$ とする。

棒の左端まわりの力のモーメントのつり合いより,

$$Fl=MgL$$が成り立つ。これを整理して,$L=\mskip 4mu\bun{F}{Mg}\mskip 5mul$

力のつり合いを考えるにあたっては,棒の左端において作用する垂直抗力を考える必要がある。この垂直抗力の,棒の左端まわりの力のモーメントは $0$ となるため,解答の力の作用図においては省略した。

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