回路におけるコイル①

回路におけるコイルの振る舞い

突然の変化

ずっと片想いだった相手が転校してしまったり，付き合っていた相手から突然別れを告げられてしまったり…。

気持ちの整理をするのが難しいことが大半かと思いますが，現実世界ではこのように「突然愛が変化すること」が多々あります。

やはり電磁気の世界でも $I$ は突然変化してしまうものなのでしょうか？

突然の変化を妨げる！

そのような「突然の電流の変化」を妨げてくれるのがコイルです！

コイルのエネルギーについて学習した際に，「回路中のコイルが電流の変化を妨げる働きかけをするため，コイルの電流は連続的になだらかに変化する」という話をしましたね。

自己誘導によって，電流の変化を妨げるような向きに誘導起電力が生じるためでした。

このように，コイルを流れる電流 $I$ は必ず連続的に変化します。

現実世界の愛とは違って，コイルを含む回路の $I$ は必ず連続的に変化するのです。

以上の話を踏まえて，コイルを含む回路の時間変化（過渡現象）について考えてみましょう。

過渡現象について

具体的な回路で

コンデンサーの過渡現象について学習した際と同様に，具体的な回路を用いて考えていきます。

図のように，起電力 $E$ の電池 $\rmE$，抵抗値 $R$ の抵抗 $\rmR$，自己インダクタンス $L$ のコイル $\rmL$ およびスイッチを接続します。

抵抗を右向きに流れる電流を $I$ とし，スイッチを $\mathrm{b}$ から $\mathrm{a}$ に切り替えた時刻を $t=0$ とします。

スイッチを切り替えた直後

わかる情報から順番に整理していきます。真っ先に注目すべきポイントは「コイルの電流 $I$ は連続的に変化する」です。

スイッチを切り替える直前にコイルに流れていた電流は $0$ でしたので，スイッチを切り替えた直後も電流は $0$ のままです。

ということは，コイルと直列に繋がれている抵抗の電流も $0$ になります。このことから，抵抗の電圧が $0$ であることがわかりますね。

しかし，そのままずっと電流が $0$ であるわけではありません。徐々に連続的に増加していきます。

つまり，電流の増加率 $\bun{\dI}{\dt}\mskip 5mu$ は $0$ ではありませんので，コイルには電圧 $L\mskip 6mu\bun{\dI}{\dt}\mskip 5mu$ が生じることになりますね。

以上を踏まえて整理した回路図が次の通りです。

キルヒホッフの第二法則から，

$$E=L\mskip 6mu\bun{\dI}{\dt}\mskip 5mu \qquad \therefore \quad\mskip 6mu\bun{\dI}{\dt}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{E}{L}\mskip 5mu$$

が得られますね。

変化の過程

話の流れはコンデンサーの過渡現象と同様ですので，そちらのページも参照しながら読み進めて下さい！

回路の様子は次図の通りです。

キルヒホッフの第二法則から，

$$E=RI+L\mskip 6mu\bun{\dI}{\dt}\mskip 5mu \qquad \stext{……①}$$

が成立します。

コンデンサーの過渡現象のときにも登場した「空気抵抗を考慮した落下運動の運動方程式」ですね！

力の作用図は上の通りで，鉛直下向きの運動方程式は，

$$ma=mg-kv$$

でした。$a=\mskip 4mu\bun{\dv}{\dt}\mskip 5mu$ を用いて，式を整理すると，

$$mg=kv+m\mskip 6mu\bun{\dv}{\dt}\mskip 5mu \qquad \stext{……②}$$

です。

②式から得られる $v-t$ グラフの概形は次図の通りでした。

よって，①式から得られる電流 $I$ の時間変化を表すグラフもこれと同様の形になるはずです。

$t=0$ のとき，$\bun{\dI}{\dt}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{R}{L}\mskip 5mu$ であることは①で既に求めました。よって，$t=0$ におけるグラフの傾きは $\bun{R}{L}\mskip 5mu$ であることがわかります。

コンデンサーの過渡現象と同様に，③の手順で求めるのが最もシンプルですが，2つの式の対応関係から考えてもokです。

文字の対応関係から，

$$mg=E,\quad k=R,\quad m=L$$

が成り立つものと考えることができます。よって，終端速度 $v_f=\mskip 4mu\bun{mg}{k}\mskip 5mu$ に対応する値は，

$$\bun{mg}{k}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{E}{R}\mskip 5mu$$

として求まりますね。

十分に時間が経過した後

十分に時間が経過すると，それ以上変化が起こらない定常状態に至ります。

電流も一定の値で流れ続けて変化しない状態に至るので，$\bun{\dI}{\dt}\mskip 5mu=0$ が成り立ちます。これより，コイルの電圧が $0$ となることがわかりますね。

以上を整理して回路図をかくと，次の通りになります。

キルヒホッフの第二法則から，

$$E=RI \qquad \therefore \quad I=\mskip 4mu\bun{E}{R}\mskip 5mu$$

が得られます。②で2式の対応から求めた値と一致していますね！

類似点が非常に多いので，しっかりと関連付けて内容を理解しておきましょう。

コンデンサーの過渡現象でも述べましたが，とっても差が付きやすいです！！