コンデンサー回路の問題
解き方のまとめ
コンデンサー回路の問題の解き方のまとめです！
コンデンサー回路の問題の解き方
① 各極板の帯電量を文字で設定する。
② キルヒホッフの第二法則と電荷保存則を立式する。
例題
起電力が $V$ の電池 $\rmE$，スイッチ $\rmS_1,\,\rmS_2$，電気容量がそれぞれ $C,\,2C,\,4C$ のコンデンサー $\rmC_1,\,\rmC_2,\,\rmC_3$ が図のように接続されている。以下の設問に答えよ。ただし，はじめの状態で各コンデンサーには電荷が蓄えられていないものとする。
スイッチ $\rmS_1$ を閉じてから十分に時間が経過した後，コンデンサー $\rmC_1,\,\rmC_2$ に蓄えられる電気量 $Q_1,\,Q_2$ を求めよ。
スイッチ $\rmS_1$ を開いた後，スイッチ $\rmS_2$ を閉じた。十分時間が経過した後，コンデンサー $\rmC_1,\,\rmC_2,\,\rmC_3$ に蓄えられる電気量 $Q_1\prime ,\,Q_2\prime ,\,Q_3\prime $ を求めよ。
回路図は次図の通り。
キルヒホッフの第二法則より，
$$\bun{Q_1}{C}\mskip 5mu+\mskip 4mu\bun{Q_2}{2C}\mskip 5mu=V$$
電荷保存則より，
$$0=-Q_1+Q_2$$
2式を解いて，
$$Q_1=Q_2=\mskip 4mu\bun{2}{3}\mskip 5muCV$$
スイッチを操作した後の回路の様子は次図の通り。
キルヒホッフの第二法則より，
$$\bun{Q_3\prime }{4C}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{Q_1\prime }{C}\mskip 5mu+\mskip 4mu\bun{Q_2\prime }{2C}\mskip 5mu$$
スイッチ $\rmS_2$ を閉じる前後での電荷の変化は次図の通り。
① の部分の電荷保存則より，
$$0+Q_1=Q_3\prime +Q_1\prime $$
② の部分の電荷保存則より，
$$-Q_1+Q_2=-Q_1\prime +Q_2\prime $$
以上3式を整理して，
$$Q_1\prime =\mskip 4mu\bun{2}{21}\mskip 5muCV,\ Q_3\prime =\mskip 4mu\bun{4}{7}\mskip 5muCV$$
電池の仕事
起電力
電池の起電力は回路に電流を流す働きをするということを物理基礎で学習しました。
コンデンサー回路でも，コンデンサーに充電する過程で電池は正の電荷を高電位な位置へと持ち上げる役割をしています。
電荷が電池を通過すると
起電力が $V$ の電池があり，この電池を $+Q$ の電荷が通過したとしましょう。
電池の起電力が $V$ ということは，電池を通過すると電位が $V$ だけ上がるということです。
電荷が持つ位置エネルギーは，$U=qV$ で表されるので，電荷の位置エネルギーは $QV$ だけ増えることになりますね。
「電荷の位置エネルギーが増えたのは電池に仕事をしてもらったから」と考えることができるため，電池の仕事 $W$ は，
$$W=QV$$
で表されることがわかります。
電池の仕事
起電力が $V$ の電池を $Q$ の電荷が通過するとき，電池のする仕事は，
$$W=QV$$
なお，起電力と逆の向きに正の電荷が通過するときは，電池の仕事は負になりますので気をつけましょう。
