写像公式

写像公式

像の場所，大きさ

ここまでは，「レンズによってどこに像ができるか」に注目し，作図の方法を中心に説明してきました。

ここからは，「どこにどのくらいの大きさの像ができるか」について考えていきたいと思います。

凸レンズで考える

まずは，凸レンズの焦点より離れた位置にろうそくをおいた状況について考えてみましょう。

レンズからろうそく，像までの距離をそれぞれ $a,\,b$ とし，レンズの焦点距離を $f$ とします。

図を用いて，$a,\,b,\,f$ が満たす関係式を導いていきましょう。

相似に注目して

まず，次図の2つの直角三角形に注目します。

この2つの三角形は相似の関係にあるため，

$$\rmQ\rmP:\rmQ\prime \rmP\prime =\rmP\rmO:\rmP\prime \rmO=a:b$$

が成り立ち，これを整理することで，

$$\Bun{\rmQ\prime \rmP\prime }{\rmQ\rmP}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{b}{a}\mskip 5mu\stext{\quad……\ ①}$$

が得られます。

続いて，次図の2つの直角三角形に注目します。

これらの三角形も互いに相似の関係にあるため，

$$\rmA\rmO:\rmQ\prime \rmP\prime =\rmO\rmF\prime :\rmP\prime \rmF\prime =f:(f-b)$$

が成り立ちます。

$\rmA\rmO=\rmQ\rmP$ に注意すると，

$$\Bun{\rmQ\prime \rmP\prime }{\rmQ\rmP}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{b-f}{f}\mskip 5mu\stext{\quad……\ ②}$$

が得られます。

写像公式

①，② から，

$$\bun{b}{a}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{b-f}{f}\mskip 5mu\qquad\therefore \quad\mskip 6mu\bun{1}{a}\mskip 5mu+\mskip 4mu\bun{1}{b}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{1}{f}\mskip 5mu$$

が導かれますね。

この関係式を写像公式といいます。

倍率

倍率を表す値

ろうそくに対する像の大きさの比率は，$\Bun{\rmQ\prime \rmP\prime }{\rmQ\rmP}\mskip 5mu$ ですね。

①式より，その値は $\Bun{b}{a}\mskip 5mu$ で与えられることがわかります。

この値を，像の倍率と呼びます。

虚像，凹レンズにおける写像公式

その他の場合

ここまで，「凸レンズの焦点より離れた位置にろうそくをおいた状況」について考え，写像公式を導きました。

それでは，その他の状況ではどのようになるのかを考えてきましょう。

図のように，焦点距離を $f$，ろうそくからレンズまでの距離を $a$，像からレンズまでの距離を $b$ とします。

先ほどとは図が異なりますが，2つの相似に注目することで $a,\,b,\,f$ が満たす関係式が得られます（いずれも幾何的考察で導かれるので試してみてください！）。

凸レンズを用いて虚像を作る際（上の図）は，

$$\bun{1}{a}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{1}{b}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{1}{f}\mskip 5mu$$

が，凹レンズを用いて虚像を作る際（下の図）は，

$$\bun{1}{a}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{1}{b}\mskip 5mu=-\mskip 6mu\bun{1}{f}\mskip 5mu$$

がそれぞれ導かれます。

整理の仕方

「どれも少しずつ違っていて覚えにくい…！」と思った皆さん，安心してください！

まず，原則として写像公式の形は $\bun{1}{a}\mskip 5mu+\mskip 4mu\bun{1}{b}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{1}{f}\mskip 5mu$ である，という点は覚えます。

$b$ は「像とレンズの距離」ですが，像が実像なら正の値，虚像なら負の値として考えます（つまり，レンズの向こう側を正として考える！）。

「 $\bun{1}{a}\mskip 5mu+\mskip 4mu\bun{1}{b}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{1}{f}\mskip 5mu$ における $b<0$ の場合」として考えれば，先ほど導かれた $\Bun{1}{a}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{1}{b}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{1}{f}\mskip 5mu$ の式が出てきます。

$f$ は「レンズの焦点距離」ですが，凸レンズなら正の値，凹レンズなら負の値として考えます。

こちらも「$\bun{1}{a}\mskip 5mu+\mskip 4mu\bun{1}{b}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{1}{f}\mskip 5mu$ における $b<0$，$f<0$ の場合」として考えれば，先ほど導かれた $\Bun{1}{a}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{1}{b}\mskip 5mu=-\mskip 6mu\bun{1}{f}\mskip 5mu$ の式が得られますね。

写像公式のまとめ

以上をまとめると以下の通りです。

虚像の場合は $b<0$ となりますので，像の倍率も $\left|\bun{b}{a}\mskip 5mu\right|$ として，絶対値で考えるようにしましょう。