隣り合う明線
明線のおはなし
入試では，「隣り合う明線」について考える問題がよく出題されます。
この「隣り合う明線」の性質について考えてみましょう。
ある明線（$m$ 番目）が強め合いの条件式 $\varDelta D=m\lambda$ を満たしているとき，その隣の明線は $m+1$ 番目ですので，強め合いの条件式は，
$$\varDelta D\prime =(m+1)\lambda$$
となりますね。
これより，$\varDelta D\prime -\varDelta D=\lambda$ が成り立つことがわかります。
つまり，「隣り合う明線の光路差の差は $\lambda$ になる」わけですね。
「光路差の差」というのが少しややこしいですが，非常によく使う考え方ですのでしっかりと理解しておきましょう。
例題
隣り合う2本の明線に注目することで，波長 $ \lambda $ の光をくさびガラスに入射した際にできる干渉縞の明線間隔 $ \varDelta x $ を求めよ。ただし，ガラスの右端には厚さ $D$ の紙が挟まれており，左端から紙までの距離を $L$ とする。
図のように，$m$ 番目と $m+1$ 番目の明線（これらは隣り合う明線！）ができる位置に注目する。
それぞれの位置において干渉する光の光路差は，空気層の往復距離に等しい。
よって，$m$ 番目の明線と $m+1$ 番目の明線の光路差の差は，空気層の厚さの差（図中の $ \varDelta y $）の往復距離，すなわち $ 2\varDelta y $ となる。
これが $ \lambda $ に等しいことから，$ \varDelta y=\mskip 4mu\bun{\lambda}{2}\mskip 5mu $ が得られる。
また，図中の直角三角形に注目すると，
$$\tan\theta=\mskip 4mu\bun{\varDelta y}{\varDelta x}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{\lambda}{2\varDelta x}\mskip 5mu$$
であることがわかる。
一方，くさびガラス全体に注目すると，$\tan\theta=\mskip 4mu\bun{D}{L}\mskip 5mu$ が得られるため，これら2式をあわせて整理して，
$$\begin{aligned}&\bun{\lambda}{2\varDelta x}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{D}{L}\mskip 5mu\\&\therefore \quad \varDelta x=\mskip 4mu\bun{L\lambda}{2D}\mskip 5mu\end{aligned}$$
明線が動く問題
動く明線の扱い
実験に用いる単色光の波長を変化させたり，実験に用いているガラスを動かしたりすると，明線や暗線の位置が動きます。
特に波長 $\lambda$ を変化させない状況では，条件が変わっても $m$ 番目の強め合いの条件式である $\varDelta D=m\lambda$ の右辺は変わりません。
当然，左辺の $\varDelta D$ も不変です。
つまり，変化の前後で $\varDelta D$ が同じになるような位置に $m$ 番目の明線は移動することになるのです。
例題
曲率半径が $R$ の平凸レンズとガラス板を接触させ，上方から波長 $\lambda$ の単色光を入射したところ，ニュートンリングが観察された。以下の設問に答えよ。
$m$ 番目の暗環の半径 $r_m$ を求めよ。ただし，中心の暗環が $m=0$ に対応するように答えよ。
平凸レンズを真上に平行に $y$ だけ持ち上げると，$m=3$ の暗環がちょうどニュートンリングの中央まで移動した。$y$ を求めよ。
(1) の解き方
こちらは通常のニュートンリングの問題です。
光路差はスラスラ求められますよね…？
中心から $r$ だけ離れた位置の光路差は $\varDelta D=\mskip 4mu\bun{r^2}{R}\mskip 5mu$ であり，反射による合計の位相のずれは $\pi$ なので，弱め合いの条件式は，
$$\bun{r_m^2}{R}\mskip 5mu=m\lambda$$
となります。
これを整理することで，$r_m=\sqrt{mR\lambda}$ が得られます。
$m=0$ のとき，$r_0=0$ となり，中心の暗環に対応していることもしっかりと確認しておきましょう。
(2) の解き方
中心から $r_3$ の位置における光路差は，その位置の空気層の厚さの2倍です。
つまり干渉縞の光路差は，空気層の厚さで決まっているわけですね。
この位置にある暗環は，光路差が同じ位置へと動いていきますが，これはつまり空気層の厚さが元と同じになる位置へと動いていくということです。
$m=3$ の暗環がリングの中央まで移動したということですので，「もともと $m=3$ の暗環ができていた場所の空気層の厚さ」と「平凸レンズを持ち上げた後の中央部の空気層の厚さ（つまり $y$！）」が等しくなっていることがわかります。
もともと $m=3$ の暗環ができていた位置の空気層の厚さを $h$ とすると，弱め合いの条件式より，
$$2h=3\lambda\quad\therefore\quad h=\mskip 4mu\bun32\lambda$$
であることがわかります。$y=h$ ですので，$y=\mskip 4mu\bun32\lambda$ として答えが得られます。
例題のまとめ
例題からわかる通り，平凸レンズを持ち上げるとニュートンリングの明環・暗環はリング中央へと向かって動いていきます。
「なぜそうなるのか？」という点とあわせて，自分の言葉で説明できるようにしておきましょう！
0 次の明線の扱い
例題での確認
前のセクションで，「明線が動くタイプの問題では，$0$ 次の明線に注目するとうまくいくことが多い」と説明しました。
例題を通して，$0$ 次の明線の扱い方について具体的に確認しておきましょう。
例題
波長が $\lambda$ の単色光を用いたヤングの実験において，単スリットの位置を下方へ $a$ だけずらした。このとき，スクリーン上の干渉縞はどちらへどれだけ移動するか。ただし，単スリットと複スリットの距離を $l$，複スリットとスクリーンの距離を $L$，複スリットのスリット間の間隔を $d$ とする。
方針
全ての明線，暗線が一気に動くので，まとめて考えるのは少し厄介です。
そこで，$\varDelta D=0$ となる $0$ 次の明線に注目して考えましょう。
左右に分ける
複スリットの右側と左側に分けて考えます。複スリットの右側で生じる光路差は通常のヤングの実験と同様であり，$\overline{\rmS_2\rmP}-\overline{\rmS_1\rmP}=d\mskip 6mu\bun{x}{L}\mskip 5mu$ です。
では，複スリットの左側はどうでしょう？
図を $180\Deg$ 回転させると，右側と同じ図になることがポイントです。
$a$ が $x$ に，$l$ が $L$ にそれぞれ対応していますね。これより，$\overline{S_0S_1}-\overline{S_0S_2}=d\mskip 6mu\bun{a}{l}\mskip 5mu$ であることがわかります。
全体の光路差
全体での2つの光の光路差は，
$$\varDelta D=d\mskip 6mu\bun{x}{L}\mskip 5mu-d\mskip 6mu\bun{a}{l}\mskip 5mu$$
として計算できますね。
$0$ 次の明線においては，$\varDelta D=0$ となるので，
$$d\mskip 6mu\bun{x}{L}\mskip 5mu-d\mskip 6mu\bun{a}{l}\mskip 5mu=0\quad\therefore\quad x=a\mskip 6mu\bun{L}{l}\mskip 5mu$$
が得られます。
もともと原点にあった $0$ 次の明線が，$x=a\mskip 6mu\bun{L}{l}\mskip 5mu$ の位置に移動したことから，「干渉縞はスクリーン上を上向きに $x=a\mskip 6mu\bun{L}{l}\mskip 5mu$ だけ平行移動する」が答えになります。
明線間隔について
なお，上の解答は「干渉縞が動いても，明線間隔は変化しない」ことが前提となっています。こちらについても確認しておきましょう。
位置 $x$ における光路差 $\varDelta D$ は上で求めた通り，$\varDelta D=d\mskip 6mu\bun{x}{L}\mskip 5mu-d\mskip 6mu\bun{a}{l}\mskip 5mu$ ですので，強め合いの条件式は，
$$d\mskip 6mu\bun{x}{L}\mskip 5mu-d\mskip 6mu\bun{a}{l}\mskip 5mu=m\lambda\quad\therefore\quad x=a\mskip 6mu\bun{L}{l}\mskip 5mu+m\mskip 6mu\bun{L\lambda}{d}\mskip 5mu$$
となります。
この明線の位置を $x_m$ とし，$m+1$ 番目の明線の位置 $x_{m+1}$ との差を取ることで，
$$\begin{aligned} \varDelta x&=x_{m+1}-x_m\\&=\left\{a\mskip 6mu\bun{L}{l}\mskip 5mu+(m+1)\mskip 6mu\bun{L\lambda}{d}\mskip 5mu\right\}-\left(a\mskip 6mu\bun{L}{l}\mskip 5mu+m\mskip 6mu\bun{L\lambda}{d}\mskip 5mu\right)\\[12pt]&=\mskip 4mu\bun{L\lambda}{d}\mskip 5mu\end{aligned}$$
として明線間隔が得られます。
通常のヤングの実験は $a=0$ として考えることができますので，同様に $\varDelta x$ を計算すると同じ値が得られます。
これより，干渉縞が動いても明線間隔は変化しないことが確認できました。
この事実は知っておくと便利でしょう。
また，$0$ 次の明線について，$\Bun{a}{l}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{x}{L}\mskip 5mu$ が成り立つことが例題からわかりました。
これより，$0$ 次の明線の位置を $P_0$，スリット $S_1$，$S_2$ の中点を $M$ とすると，「$S_0$，$M$，$P_0$ が一直線上に並ぶ」ことが確認できます。
